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— Einige Vorkenntuisse aus der Geometrie. —

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wie einem Grenzwerte nähert. Folge davon ist, dass, wenn mandie Seiten des erstem in Bogen ausdrückt und die dritten Potenzenderselben vernachlässigt, die sämtlichen Formeln in die entspre-chenden am letztem übergehen b . Aber wenn man auch nur diefünften und hohem Potenzen wegwerfen will, so kann man einKugeldreieck wie ein ebenes behandeln, falls man zuvor jeden seinerWinkel um ein Drittel des Excesses vermindert c , eine Lehre, welcheman als Satz von Legendre bezeichnet d und in der Geodäsie mitgrossem Nutzen verwendet e .

5En 91: a. Man erinnere sich an die Sinus- und Tangentenproportionen— vergleiche 65 : 3, 8 mit 90 : 4, 6, — etc. Da ferner 90 : 1“ sich leicht in

Si 2 y 2 a = (Si Vjb-Co ‘/ 8 c) 2 -i (Co '/ 2 b-Si */* c)*—2(Si '/ 2 b - Co '/ 2 c)(Co l /,b-Si ‘/ 2 c)CoA 1

umsetzen lässt, so ist auch die Analogie mit dem erweiterten pythagoreischenLehrsätze hergestellt. — ft. Setzt man die Sinus den Winkeln proportionalund die Cosinus, wo sie mit solchen Sinus multipliziert sind, gleich der Ein-heit, so erhält maii z. B. aus 1 sofort a 2 = b 2 + c 2 — 2bc CoA, — und ent-sprechend in andern Fällen. — c. Bezeichnet man durch a' b' c 1 die Verhältnisseder Seiten a, b, c zum .Radius r, so erhält man nach 90:1" mit Hilfe von40 : 7, 8 bei Wegwerfung der fünften Potenzen

Co b‘ • Co c'

Si b' ■ Si c‘

7j (b' 2 f c' 2 — a ,2 )_+ */ J4 (a' 4 - b' J _-c' 4 — 6 b' 2 -o'9

b T - c' [l- '/ 6 (b ' 2 Pc' 2 )]

oder, wenn man Zähler und Nenner mit 1 -|- ‘/ 6 (b' 2 + c' 2 ) multipliziert, wiederdie 5. Potenzen wegwirft und jlie a b c restituiert,

b 2 + c'

a 4 + b 4 + c 4 — 2 (a 2 b 2 -|- a 2 c 2 + b 2 c 2 )24 b • c • r 2

2

Bezeichnet man aber die Winkel eines ebenen Dreiecks der Seiten a b c mitA' B‘ C* und setzt angenähert dessen Fläche f der Fläche des sphärischen Drei-eckes gleich, so hat man (66, 86)

b c • Si A'

f = 2 e r 2 Si P

Co A'

2 bc

also

2 [a 2 b 2 a 2 c 2 4- b 2 c 2

(a 4 -|-b 4 + c 4 )] 4 b 2 c 2 Si 2 A'

’ 24 • b • c • r 2

2 / 3 eSiA'-Sil"

Si 2 A‘ =

und hiefür geht 2 in

Co A = Co A' — 2 / 3 e • Si A' • Si 1"

über. Setzt man nun A = A 1 + x, so ist offenbar x eine kleine Grösse undman hat daher

4

Co A = Co A 1 • Co x — Si A‘ • Si x !=: Co A' — x ■ Si A 1 ■ Si 1“folglich durch Vergleichung von 3 und 4

x = 2 / 3 e oder also A‘ — A-—

was mit dem oben Ausgesprochenen genau übereinstimmt. — d. Praktiziertwurde dieses Verfahren allerdings schon früher (vgl. 422); aber als eigentlicheLehre wurde es kaum vor „Legendre , Sur les operations trigonometriques dontles resultats dependent de la flgure de la terre (Mem. Par. 1787)“ vorgeführt,— ja eine förmliche Begründung dieser letztem wurde von Legendre erst1799 in seiner einleitenden Abhandlung zu Delambres „Methodes analytiques