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Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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Endlich hat man nach 8" bei entsprechender BehandlungTg C = ^ je■ Si 1" f e*Si* 1“ ■ Co A • Ctb + Si 3 1“ (1 + 3 Co 2 A • Ct* b)j

oder, da C • Si 1“ — Tg C — '/ 3 Tg 3 0 ist,

C = f i + c • Si 1"• GoA • Ct b -■)- ° Si* 1" [Cu*A(t -f 4Ct*b) —Ct*b]J IO

Wir werden von diesen Reihen in 433 Gebrauch machen; hier mag nur nocherwähnt werden, dass sie z. B. schon von Puissant in seiner Geodäsie gegebenwurden.

93. Die KO£'. Fehlergleicliungeii. - Durch Differentiationder 90:1" erhält inan leicht die zwischen kleinen Veränderungender Dreieckselemente bestehenden Beziehungen

d a = Co C • d b -|~ Co B • d c --) - Si B ■ Si c • d A

d b = Co A ■ d c + Co C • d a | Si C ■ Si a • d B I

d c = Co B • d a Co A • d b -4- Si A • Si b • d Cwelche man als Fehlergleichungen bezeichnet. Eliminiert man ausje zwei derselben die de, so ergiebt sich, dass auchCt a • d a - Ct b • db = Ct A • dA - CtB • dBSi B • d a — Co c • Si A • d b = Si c • d A -f- Si a • Co B • d C 3

Si A • d b — Co c ■ Si B • d a = Si c • d B + Si b • Co A • d C

und endlich, wenn man aus 2" und 2'" die db eliminiert, dassüberdies d A = Si b • Si C • d a - Co c. • d B - Co b ■ d C 3

ist ". Wir werden später von diesen Beziehungen wiederholt, na-mentlich aber in der Theorie der Beobachtungsmethoden, einen aus-gedehnten Gebrauch zu machen haben h .

Xu 92: n. Solche Fehlergleichmigen finden sich zuerst in der 1722 ausdem Nachlasse von Roger Cotes oder Cotesius (Burbage in Beicestershire 1082— Cambridge 1716; erst Schüler, dann Freund von Newton, und Prof. astr.Cambridge ) als Anhang zu dessen „Harmonia mensurarum“ ausgegebenen„Aestimatio errorum in mixte mathesi per variationes partium trianguli planiet sphserici“; aber noch unter der Form von 28 Theoremen, von welchen z. B.das 17. einem Specialfalle unserer 2‘ entspricht, indem es lautet: „Sind ineinem sphärischen Dreiecke eine Seite und ihr Gegenwinkel konstant (db =o = dB), so verhält sich die Variation einer der beiden andern Seiten (da)zur Variation ihres Gegenwinkels (dA), wie sich die Tangente dieser Seite(Tga) zur Tangente ihres Gegenwinkels (TgA) verhält“. Noch in „Lacaille,Calcul des differences dans la trigonometrie spherique (Mem. Par. 1741)“, undin „Cagnoli, Trigonometria piana e sferica. Parigi 1786 in 4.“ wurden wesent-lich diese Cotesius’schen Analogien wiederholt, — in letzterer Schrift sogarauf 139 Nummern ausgedehnt; dagegen finden sich in „Boscovich , Des formalesdifferentielles de trigonometrie (Opera IV 316—94)“ die Fehlergleichungen inder oben gegebenen Form, und dabei gereicht es diesem höchst verdientenund viel zu wenig beachteten Gelehrten zu grosser Ehre, dass er unsere P,2', 2" und 3 als „equations gänerales“ ausgewählt hat. — b. Anhangsweise