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— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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nach die Cosinus der Winkel, welche jede der Axen X'Y'Z' mitden Axen XYZ, oder jede der Ebenen Y'Z', X'Z', X'Y' mitden Ebenen YZ, XZ, XY bildet, so hat man

x = a 3 x' -f- a a y' 4- a 3 z' x' = a, x ) b, y 4- c, z

y = b, x' -|- b s y' b 8 7t Y = a 8 x -) b ä y -f- c 2 z 4

z = c,x'+c,y' + c 3 z' 7t“ = a 3 x f b 3 y 4- c 3 z

und es bestehen die Beziehungen

a, =Co<p■ Co tp i-Si tp • Siy-Co0 b, =Co(/>-Siy—Si^-Coi/)-Co0 c, = Si-Si0a., = Si <p -Coi/;—Co qß • Si tp • Co 0 b 2 = Si<jp *Siy + Co<p*Coi//-Co0 c 2 =—Co<p*Si0«5a 3 = —Si^-Sie b 3 = CoySio c 3 = CoO

wo 0 der Winkel der Ebenen X'Y' und XY ist, (p und i/> aberdie Winkel sind, welche deren Knotenlinie mit den Axen X' und Xbildet 0 . — Jede Fläche wird durch eine, in einem bestimmtenPunkte der Ebene X Y errichtete Senkrechte in bestimmten Ab-ständen von dieser Ebene geschnitten, und ihr Gesetz muss sichdaher durch eine Gleichung

z = f (x, y) oder F (x, y, z) = 0 6

ausdriicken lassen; dabei heisst, je nachdem diese Gleichung vomn. Grade oder transcendent wird, auch die Fläche vom n. Gradeoder transcendent. So z. B. besteht für jeden Punkt einer Ebenezwischen seinen Coordinaten eine Gleichung ersten Grades

— + -v- 4- = 1 oder Ax + By Cz f D — 0 S

a b c J

und umgekehrt ist jede Fläche ersten Grades eine Ebene. Bezeichnet

n den Winkel der Ebene mit der X Y, so kann man n nach

„ c faJ 4- b 2 KA s T B*

b a-b C

oder Qo n - a b _ ^

_ I V 2 b s , a s c 3 i b ä c ä _ VÄ* + B* + C*~berechnen a . — Da sich ferner eine Linie im Raume immer alsDurchschnitt zweier Flächen, speciell eine Gerade als Durchschnittzweier Ebenen denken lässt, so kann letztere durch zwei Gleichungenx = a • z 4 - 7 y = ß z Y d 9

gegeben werden, welche offenbar den Projektionen der Geradenauf die Ebenen der X Z und Y Z entsprechen. — Eliminiert manaus den Gleichungen zweier Geraden

x — a^-t-b, y = a 2 z4-b ä und x = a 1 z-)-/? 1 y = a t z~\~ß i IOdie Coordinaten xyz, so erhält man die Proportion

Oi — «i) : Os — « 2 ) = Oi — ßi) ■ (b 2 — #,) 1 1

welche die Bedingung für das gleichzeitige Bestehen jener vier