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— Einleitung in die analytische Geometrie des Raumes. —

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Gleichungen, d. h. für das Schneiden der Geraden, enthält. DieCoordinaten des Durchschnittspunktes sind

x =

»i ßi ~ b i «i

7 =

a 2 /? ä

h 2 ct

V

a,

z- - • ^ 13

. - «i

und a 9 — «, sich im Un-

2 r 2

<l| Cfj ^2 0«.)

so dass die beiden Geraden für a, — a, uuu » 2 --«..jendlichen schneiden oder parallel werden. Im allgemeinen wird derWinkel (1,2) der beiden Geraden durch

1 —(- a, oij —f~ a 3 OE.?

Co (1,2) :

Vl + a. ä | a 2 2 - V\ -

13

— Co (1, x) Co (2, x) + Co (1, y) Co (2, y) 4- Co (1, z) Co (2, z)erhalten, und es ist somit 1 4- o, «, 4 a 2 a 2 = 0 die Bedingung desSenkrechtstehens.

Xu 93 : a. Die Raumcoordinaten wurden mutmasslich bald nach denjenigenin der Ebene eingeführt, jedenfalls die drei recht-winkligen x, y, z, wenn auch ohne Benennungen,spätestens durch Euler in seiner Introdnctio ganzin unserm Sinne; dass jemand vor mir der z denvakant gewordenen Namen Applikate beilegte, istmir nicht bekannt. — Bezeichnen r, und r, die Di-stanzen der beiden Punkte vom Anfangspunkte, soist trigonometrisch

= r, * + r,* — 2r, r. ä Co (r,, r 2 ) t 4

also nach 2 r, • r 2 Co (r,, r 2 ) = x, x 2 + y, y. ; + z, z 2— b. Die 3 ergeben sich unmittelbar aus der Figur. Führt man in dieselbennach 1 die Polarcoordinaten ein, so erhält manr' • Co v' • Co (w' — n) =

= r • Co v • Co (w — n) — R • Co V • Co (W — n)r' • Co v' • Si (w' — n) = 15

= r • Co v • Si (w — n) — R • Co V • Si (W — n)

r' • Si v 1 -= r ■ Si v — R • Si Vwo n eine willkürliche Grösse bezeichnet. — c. Dasowohl xyz als x'y'z' durch r zn einem Vierecke ergänzt werden, also (81: b)die Summe der Projektionen der erstem auf irgend eine Gerade gleich derSumme der Projektionen der zweiten auf dieselbe Gerade sein muss, so er-gehen sich die 4 ohne weiteres. Anderseits liest man aus den beistehenden

Figuren die Beziehungenx 1 = u • Co <p + t • Si <py' = n • Si if — t • Co q>z‘ = z ■ Co 6 + s • Si 0s = y • Co — x • Si xfit = z • Si 9 — s • Co 0n = x • Co \p + y • Si yah, und wenn man aus diesendie Hilfsgrössen s, t, n eli-miniert, so ergehen sich durch Vergleichung mit 4 sofort die 5. — Setzt manferner in der Gleichheit x 2 + y 2 + z- = x 12 -f y 12 + z' 2 entweder für xyz