— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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oder fiir x' y' z 1 ihre Werte aus 4 ein, so folgt, dass

1 = a, * + a, 3 + a 3 3 = 1), 3 + b, 3 + b 3 3 = c, 3 + c 2 3 + c 3 3

= a, 3 + b, 2 + c, 3 = a, 3 + b, 3 + c 2 3 = a 3 3 + b 3 3 + c 3 3

0 = a, b, + a 2 b, + a 3 b 3 = a, c, + a, c, -f a 3 e 3 = b, c, -f b. 2 c., + b 3 e 3 .

= a i + k| k., -f- c, Cj = a, a 3 -f- b, b 3 + c, c 3 = a., a 3 + b 2 b 3 + c., c 3

und ebenso lassen sich mit Hilfe von 5 die Gleichheiten

a, = bj c 3 — b 3 c, a 2 = b 3 e, — b, c 3 a 3 = b, c» — b, c,

b, — c, a 3 C 3 a, b.> — c 3 a, c, a 3 b 3 — c, a., — c„ a, 1 S

C| — a 2 b 3 a 3 bj c 2 — a 3 b, a, b 3 c 3 — a, b.> — n., b,

leicht verifizieren. — Die obige Ableitung der 5 gab ich schon 1848 in denBerner-Mitteilnngen. Die Relationen 18 scheint Lagrange zuerst aufgestelltund benutzt, zu haben. — d. Bezeichnen a, b, c die Abstände der Schnittpunkteder Axen vom Anfangspunkte, so besteht (83) dieVolumengleichheit

- a ' b ■ 0 = a •'■•••>• . J': c y_ x

2-3 2-3 r 2-3 T 2-3

woraus sofort V und auch die Berechtigung von 7"hervorgeht. — Geht die Ebene durch den Anfangs-punkt, so ist D = 0, — ist sie zu einer der Axenparallel, so verschwindet das entsprechende Glied derGleichung, — soll sie durch drei Punkte (x, y, z,), (x 2 y 4 z 4 ), (x 3 y 3 z 3 ) gehen,so muss 7 für jeden derselben bestehen, und hieraus ergiebt sich

A -= z, (y 3 - y 4 ) + z a (y, — y 3 ) + z 3 (y 4 — y,)

B = x, (z 3 — Zg) + Xj (z, — z 3 ) + x 3 (z 2 — z,) t9

C = y, (x 3 — x ä ) + y 4 (x, — x 3 ) + y 3 (x 2 — x,)

D = z, (y 2 x 3 — y 3 x 2 ) + z 2 (y 3 x, — y, x 3 ) + z 3 (y, x 2 — y 2 x,)

Die 8' geht aus Tg n = z : d mit Hilfe von 69 hervor. — Bezeichnen n', n",

n“' die Winkel, welche eine Ebene mit den XY, XZ und YZ bildet, so hat

man nach 8 offenbar Co 3 n' -|- Co 3 n“ + Co 3 n“' = 1; bezeichnen ferner f‘, f",f“' die Projektionen eines beliebigen Flächenstückes f dieser Ebene auf diedrei Coordinatenebenen, so hat man (81) : f 1 = f • Co n‘, f“ = f ■ Co n", f“' =f-Con"', — also in Verbindung beider

f ‘2 _|_ fni f“n _ f 2

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worin der von Charles Tinseau de Gennes (Besamjon 1750? — 1800; Genie-Offizier) 1774 der Par. Akad. (vgl. Sav. etrang. 1780) mitgeteilte und nach ihmbenannte Satz besteht, aus welchem derjenige von Gua (83: a) als Specialfallhervorgeht. — e. Die 13 erhält man, indem man durch den Pol Parallele zuden beiden Geraden zieht, auf diesen beliebige Distanzen y, und y 2 abträgtund den trigonometrisch bestimmten Abstand der so erhaltenen zwei Punktedem durch 2 Gegebenen gleichsetzt.

94. Die Krümmungs Verhältnisse. — Legt man durcheinen Punkt (x, y, z,) einer Fläche z = f (x, y) und zwei benach-barte Punkte (xj + tüj, y,, z,4-y,) und (x,, y,+/?,, Z 1 + Z 2 ) der-selben Fläche eine Ebene, so erhält man (93) als Gleichung der-selben v, r ,

z — Zj = (x — X,) • + (y — y,) •

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