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Die Krümmungsverhältnisse. —

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Sind nun a, und /?,, folglich auch die beiden y, verschwindend klein,so wird die. Ebene tangierend, während 1 in

*i) + q (y — yi)

übergeht, somit (93:8) ihr Winkel gegen die XY durch

Con = l:V , l + p*+ q 2 oder Tg n = Vp* -j- q 2 3

bestimmt wird. — Errichtet man in dem Berührungspunkte eineSenkrechte zu der tangierenden Ebene und legt durch diese sog.Normale irgend eine andere Ebene M, so schneidet letztere dieFläche in einer Kurve, zu welcher man (70) den Krümmungskreissuchen kann. Dreht inan M, so verändert sich im allgemeinen derKrümmungshalbmesser, nimmt aber für eine zu der ersten senk-rechte Stellung jeweilen einen solchen Wert an, dass die Reciprokender beiden Krümmungshalbmesser sich zu einer nur von der Lagedes Punktes abhängigen, also für ihn konstanten Grösse ergänzen,in welcher somit ein Krümmungsmass liegt “. — Für weitere Unter-suchungen muss auf die Specialwerke verwiesen werden h .

Wiu 94: «. Wählt man die tangierende Ebene als Ebene der XY, so

fällt natürlich die Normale in die Axe der /. Einedurch letztere gelegte Ebene M schneidet die Flächein einer Kurve OQ, zu der die Kante OP, welcheM in XY bildet, Tangente ist, und welcher in 0(70:4) ein Krümmungskreis des Radius

Z/p-

I 0 äx

[l + (dx:du) 4 ]

d-z ■ du 4

(dx* + dy‘ + dz 4 .)

d 4 z • )/dx 4 f dy 4

entspricht. Da aber OP Tangente ist, so muss dz = 0 sein, während, wenn

sind, nach 41 : 7 sofort d-z -- r • dx 4 -f 2s • dx • dy -f t ■ dy 3 folgt. Es geht

also 4 in

dx 4 + d y-

d-‘ z

1 + w 4

K,

6

r |- 2 s w + t • w 4

über. Mit Hilfe hievon ergiebt sich aber, dass, wenn man w in —l:w undR, in TR übergehen lässt,

wird, womit der ausgesprochene Satz bewiesen ist. — b. Die Krümmung derFlächen wurde in allgemeiner Weise zuerst durch den jungen Clairaut in seinenausgezeichneten „Recherches sur les courbes ä double courhure. Paris 1731in 4“ behandelt, — später auch von Euler , Monge, etc., — und dann wiederin ganz hervorragender Weise durch Gauss in seinen „Disquisitioues generalescirca superficies curvas (Comm. Gotting. 1827; franz. Paris 1852 in 8.)“. Ausder neuesten Zeit sind zu vergleichen „L. Cremona, Prelimiuare di una teoriageometrica delle snperficie. Bologna 1866 in 4. (deutsch durch Cmtze, Berlin 1870 in 8.), — Eduard Mahler, Die Fundamentalsätze der allgemeinen Flächen-