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— Die Komplanation mul Kubatur. —

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Dazu kommt die historische Angabe, dass die Alten, und noch Archimedes,nur die Oberflächen der geraden Cylinder und Kegel, der Kugeln und Kngel-zonen, in ähnlicher Weise zu berechnen wussten, wie es früher (83, 85) gelehrt,wurde. Erst im 17. Jahrhundert wagte man sich daran, auch die Komplanationeiniger andern Flächen zu versuchen, und es gelang damals namentlich Huygensdas parabolische und hyperbolische Conoid, sowie das Sphäroid, zu bewältigen,doch fehlten noch allgemeine Methoden, welche dann aber bald darauf dieInfinitesimalrechnung in obstolicnder Weise an die Hand gab. — b. Beispiels-weise erhalten wir für die Kugel nach 5 unter Anwendung der obigen Hilfs-werte

9 = 71 V = 271 * 2n

V = r 3 j' j Co 2 g> ■ Si <p • d(p • d <p — r 3 — */ 3 Co 3 <p [ ip ]j = ^ i' 3 • ji’<p = o V = o o 0

Schon Archimedes gelang es, ausser der Kugel (85), das Sphäroid und dasparabolische Conoid zu kubieren, und im 17. Jahrhundert wussten die Roberval,Cavalieri, Wallis , etc., noch die Volumina mehrerer anderer Körper zu be-rechnen; aber eine allgemeine Methode wurde ebenfalls erst von der Infinitesimal-rechnung in obstehender Weise gegeben. — c. Nach 4 stellt

+ 00 +00 2 2V = j" J z • <tx • dy wo z = e ~ i x + y > 6

!__oo _OG

das Volumen des von einer Fläche der Gleichung z = e — ( x + y) begrenztenKörpers dar. Da nun z für alle Punkte der Ebene XY, welche vom Anfangs-punkte denselben Abstand r=l/x*Ty ! haben, gleich wird, so ist dieserKörper durch Rotation um die Axe der / entstanden, kann also auch als dieSumme von zur Ebene der XY senkrechten Cylindersehalen des Volumens2 r re • d r • z betrachtet werden, so dass

r° r° f° _- 2 i

V=|2rre'Z-dr = reje 1 • 2 r • d r = — re je 1 l = re 3

"o ’o 0

wird. Setzt man aber

+ oo + oo +oo

TJ= j c —x '-dx so ist, auch TJ=--J e —y -dy also U 2 = | e —(x +> 1. ,i x . ,iy —y

'—CO — OO — OO

folglich hat man mit Hilfe von 7

+ OO

f e - xä -dx = U= |/T= yn H

— oo

ein bestimmtes Integral, welches zuerst Caucliy auf diese leichte Weise er-halten haben soll.

IM». Der Punkt der mittlern Entfernungen. — Die (72)für die Schwerpunkte ebener Gebilde gefundenen Gesetze tragensich grossenteils durch Beifügen der dritten Coordinate und all-fälliges Ersetzen der Geraden durch eine Ebene unverändert aufden Raum über, — und manche andere Regeln lassen sich wenig-stens mit Hilfe derselben leicht ableiten. So z. B. ergiebt sich,dass der Schwerpunkt einer Pyramide von der Spitze um a / 4 ihrerVerbindungslinie mit dem Schwerpunkte der Basis absteht, — dass

Wolf, Handbuch der Astronomie. I. IG