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Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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der Schwerpunkt eines Prismas die Verbindungslinie der Schwer-punkte seiner Grundflächen halbiert, — etc. — Es lassen sichaber auch allgemeine Regeln für die Bestimmung der Schwerpunktevon Flächen und Körpern aufstellen: Bezeichnen nämlich x' y' z'die Coordinaten des Schwerpunktes einer Fläche 0 oder eines Kör-pers V, so hat man ganz allgemein nach der Definition des Punktesder mittlern Entfernungen

x' ■ 0 = // x • d 0 y' • 0 = // y • d 0 z'-0-//z-dO f

x'-V=///x-dV y'-V=///ydV z'-V = ///z-dV 3

und kann somit die Lösung der Aufgabe in allen Fällen auf einigeIntegrationen zurückführen h .

5Eii 96: a. Wenn man die Schwerpunkte g und f zweier Seiten einesVierflachs mit den Gegenecken a und d verbindet, soerhält man offenbar zwei Schweraxen, in deren Durch-schnittspunkt h der Schwerpunkt des ganzen Körpersliegen muss. Da nun be = ec, ef='/ 3 ea, eg = y 3 ed,also fg || ad, so hat man gli: ha = gf: ad = ef: ea =1:3, also ha = 3 • gh oder ha = 3 / 4 ag, womit der aus-gesprochene Satz für das Vierflach erwiesen ist, —also, da jede Pyramide in Vierflache gleicher Höhezerlegbar ist, auch für die Pyramide. — b. Soll maneiner Kugelzone bestimmen, so weiss man zum voraus,dass er in die Senkrechte vom Kugelcentrum aufdie bestimmenden Ebenen fällt, — und (85) dass0 = 2 r n (ß — a) , folglich dO = 2rn-dx ist. Man hatdaher nach 1'

ß

x‘ ■ 2 r jt (ß—a) = J x • 2r jt • dx = \'n(ß 2 — a 2 )a

oder x' = '/a (« + ß)

d. h. es halbiert der Schwerpunkt der Kugelzone ihre Höhe.

9 7 . Diskussion der Gleichungen zweiten Grades zwi-schen drei Variabein. — Die kontinuierliche Gleichungax 2 H by a -f-cz a +2dxy4 -2exz-|-2fyz-(-2gx + 2hy + 2kz+r—0 J-stellt eine Fläche zweiten Grades vor und es ist daher eine solcheim allgemeinen durch neun Punkte bestimmt. Setzt man x — x'+«,y = y' + ß, z — z' + y und nimmt «, /?, y so an, dass sie denGleichungen

a«4-d/? + ey -|-g = b/9-h dcc-j-fy-l-h = cy-f-ea + fß-j-k = 0 3genügen, so geht 1 in die Gleichung

ax' 2 fl- by' 2 -f- cz' 2 + 2dx'y' + 2ex / z / + 2fy'z' -f- m = 0 3

über, in welcher nur gerade Dimensionen der Coordinaten Vor-kommen, so dass ihr auch der Punkt (—x', — y', — z') genügt)

a

z. B. den Schwerpunkt