97

— Diskussion der Gleichungen 2. Grades zwischen 3 Variabein. — 243

oder die Fläche zweiten Grades in dem neuen Anfangspunkte einenMittelpunkt besitzt ". Setzt man in 3

x = A • z + B y = C • z D 4

so erhält man für die Durchschnittspunkte dieser Geraden mit derFläche 2. Grades eine Gleichung 2. Grades, deren halbe Summeder Wurzeln für die Mitte der entsprechenden Sehne

aAB + bCD -|- d (AD -|- BC) 4- eB + f Dz aA*4-bC* + c + 2dAO-|-2eA -f 2fC" ’*

gieht. Eliminiert man B und D aus den 4 und 5, d. h. geht manvon der Geraden auf ein System paralleler Geraden über, so er-hält man

x (aA -f- dC + e) + y (d A + bC + f) z (e A -f- fO + e) = 0 6oder der Ort der Mitten aller parallelen Sehnen ist eine durch denMittelpunkt gehende, sog. diametrale Ebene, in Beziehung auf welchedie ebenfalls durch den Mittelpunkt gehende der parallelen Sehnenkonjugierte Axe genannt wird. Wenn

. a A —j— d C —e ~ d A -|- b C -f- f ^

A = eA + fC + ö“ ' = eA + fC + c~ 7

so stehen (93) Axe und diametrale Ebene zu einander senkrecht,und da hei Elimination von A aus den beiden 7 für C eine Gleichung3. Grades erhalten wird, so hat eine Fläche 2. Grades mindestensEine, vielleicht drei solcher Axen, die man als Hauptaxen bezeichnet.

Transformiert man nach 93 : 4 die Coordinaten nochmals undsetzt zur Bestimmung von cp, \p, ö die sich ergehenden KoeffizientenVon xy, xz, yz gleich Null, was wieder auf eine Gleichung drittenGrades, also sicher auf mindestens Ein mögliches Wertsystem jenerdrei Grössen führt, — so geht .3 über in

0 2 2

A • x 2 + B • y a 4- C • z 2 = 1 oder —„—b ?-<,—b 2 ~ 1 &

i j ■ a 2 b 2 c 2

Wo a, b, c die sog. Halbaxeil bezeichnen. Vergleicht man 8 mit 3,®o findet man nach G, dass nunmehr der Axe x — A ■ z, y —C-zdie konjugierte Ebene

A

a 2 '

C

f > 2

9

ß ntspricht. Sucht man hiernach successive, indem man A — oo undG = o, oder A — 0 und 0 — oo, oder A — 0 und G — 0 setzt, zuden Coordinatenaxen XYZ die konjugierten Ebenen, so findet manGir sie der Reihe nach die Gleichungen x = 0, y = 0, z = 0 derdrei Ebenen YZ, XZ und XY, zu welchen jene senkrecht stehen,So dass sie Hauptaxen sind. — Verlegt man ferner den Anfangs-punkt der Coordinaten in einen der Scheitel der Hauptaxe 2a,