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— Einige Vorkeimtnisse aus der Geometrie. —x- + y 2 + z 2 — (x 12 + y' 2 + z 12 ) =

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und es ist somit die Differenz der Quadrate ihrer Abstände vom Mittelpunktegleich der Differenz der Quadrate zweier entsprechender llalbaxen. — Korre-spondieren den vom Mittelpunkte um o und o, abstehenden Punkten (xyz)und (xj,!,) eines Ellipsoides auf einem homofokalen Ellipsoide die Punkte(x‘ y‘ z') und (x,‘ y,' z,') in den Abständen p' und Q t ‘, so hat man nach 93: Dund unserer 9

■ (i,' • Co (j • p,') = x x,' + yy,' - z Zj' = x' • x t +y'-y, + z'- z, = q‘ ■ Ql Co( ? ', «,) l 1d. h. wenn inan auf zwei liomofokalen Ellipsoiden zwei beliebige Punkte wähltund sodann durch die ihnen korrespondierenden Punkte ersetzt, so wird da-durch das Produkt der Abstände in den Cosinus ihres Winkels nicht ver-ändert. — Ist ß* = a 2 -)- h und y* = « 2 -|-k, so ist nach 8" offenbar auchß‘ 2 — «‘ 2 h und = u‘ l + k, und wenn somit ein Punkt (i v £) auf demliomofokalen Ellipsoide liegen soll, so muss nach 7' die Gleichung

bestehen, welche in Beziehung auf a‘ l vom dritten Grade ist und notwendigeine positive reelle Wurzel haben muss, da die Seite links, wenn man a 1 ' 1 von0 bis oo zunehmen lässt, erst grösser und dann kleiner als die Seite rechtswird, — es also notwendig Einen Wert von n' 2 geben muss, welcher derGleichheit genügt. Man kann also durch jeden Punkt Ein Ellipsoid legemdas zu einem gegebenen Ellipsoide homofokal ist und sogar mit Ililfe von 1 3die Axen dieses Ellipsoides bestimmen. Ebenso kann man offenbar auch durchjeden Punkt ein ähnliches Ellipsoid legen.

09 . Das S])häroi(l. — In dem speciellen Falle, wo z w elAxen eines Ellipsoides, z. B. 2a und 2b, einander gleich, somitalle zu ihrer Ebene parallelen Schnitte Kreise (Parallelkreise) desRadius a und alle durch die dritte Axe geführten Schnitte (Meri-diane) Ellipsen der Axen 2a und 2c sind, kann dasselbe offenbarals durch Rotation dieser Ellipse um 2 c entstanden gedacht werdenund es wird daher in diesem Falle Rotationsellipsoid , wohl auch(namentlich wenn a und c wenig verschieden sind), Sphäroid ge-nannt. Da wir später (419 u. f.) ein solches Sphäroid als Grund-gestalt unserer Erde erkennen und (432—33) eine Reihe speciellerRechnungen auf demselben auszuführen haben werden, so wolle 11wir uns vorläufig auf die Bemerkung beschränken, dass man diekürzeste Verbindung zweier Punkte eines Sphäroides geodätischeLinie genannt hat und dass diese die merkwürdige Eigenschaft be-sitzt, jeden Meridian unter einem Winkel (Azimut) so zu schneiden,dass dessen Sinus dem Abstande des Durchschnittspunktes von derRotationsaxe umgekehrt proportional ist

5Bu »9: a. Ist AB eine beliebige Verbindungslinie zweier Punkte A nnd Beiner Rotationsfläche, — sind PC und PD zwei einander nahe Meridiane, —'