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Das Sphäroid. —

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und ist PE = PD, also DE ein Parallel, dessen Radius mit r bezeichnetwerden mag, während R der Radius von E 0 seinV soll, so hat man offenbar successive

d s — C D — ]/ÜE 2 ■ |- ED^= j/Rä • d ^2 f r 2 d w*

s = J"u-dw wo V l'H - • i>- j t- p^ d ?- 1

Lassen wir mm <p in </> |- z übergehen, wo z einewillkürliche Punktion von w ist, welche für A und Bverschwindet, so erhalten wir entsprechend für dieneue Verbindung von A und Bi Ptti i i , d (m + z) , d z

J dw dw

während nach dem Taylor’schen Lehrsätze, wenn U = P {<p, p) gesetzt wird,

dIJ dü dzd <p Z d p d w

ist. Multipliziert man aber letztere Gleichheit beidseitig mit d w und integriertmit Hilfe von 1, so erhält man

, rdü . , r dU . .

J dop J dp

Ü' = F

I- z, 1> 4

3

1 q> ' J dp

Wenn nun s ein Minimum werden soll, so muss s' — s für jeden Wert von±z einen positiven Wert, erhalten; da man aber z willkürlich, folglich auchso klein annehmen kann, dass die Glieder der ersten Ordnung grösser werdenals die Summe der übrigen, so folgt, dass ein Minimum nur eintreten kann,wenn die mit z ihr Zeichen wechselnden Glieder der 'ersten Ordnung ver-schwinden. Mail hat demnach, da

.R1U 1 dU . . ,/dü\ , rdU . dU r . /dU\

d |dp ' Z J = dp • dz + Z ■ <l (dp) als0 J dp ■ ,lz ^ dp ' z -J 7 '" 1 (dp)

ist, für das Minimum

. rdü , . rdü. dH , r IdU . ,/düyi „

° =J djp ' Z ' d W +./ dp ' ,X: dp ' Z +J Z |d» • dw - d (dp) | *

Da aber z, und somit das erste Glied rechts, für beide Grenzen des Integralsverschwindeil, sonst aber z willkürlich bleiben soll, so muss somit

0 -

oder

dUd <p

• dw-

oder 0

U — P •

©

f Const.

d

dU

d?

■I

dUdf

folglich

• d w —■

dU

sein. Setzt man aber hier nach 1

U = )/R 2 ■ p 2 + r 2 und somit

so wird

Da nun

dp

Const. —

ilU ^dp “

oder J"d U — p

dU‘ dp

d TJ

dp

U

Const. — j/lt 2 p 2 + r 2ED r ■ dw

T S K= EC

so folgt schliesslich

Const.:

_

V R 2 P 2 4- r*r

R-d

also

R 2 p

I IG P ! 1 Hr 2

i/R r p*'-|-P'r

V

p - R

: ]/r 2 ■ ^ ■ Ct 2 a + r 2 = r • Si «

R

- • Ct u

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d. h. es hat der ausgesprochene Satz für jede Rotationsfläche, also auch fürdas Sphäroid, statt. — Nachdem Euler die Beziehungen am Sphäroide in seiner