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— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie.

103

31 = b . Ct« $ = —b-Ca-Cs« a • h b

P

f> Tg w = Co a • Tg^

2

D = b' w' = 0

b . Si a

b • Go cp

l

zusammen. Es folgt hieraus, dass sieh in diesem Falle, wo dieProjektion stereographisch heisst, alle Meridiane und alle Parallele,somit, da jeder grösste Kreis als Meridian und jeder kleine Kreisals Parallel gedacht werden kann, überhaupt jeder Kugelkreis wiederals Kreis abbildet. Ferner lässt sich leicht zeigen, dass der Winkelzweier Meridiane durch das Projizieren nicht verändert wird, auchMeridiane und Parallele nach wie vor zu einander senkrecht stehen— dass die stereographische Abbildung dem Abgebildeten konformist & , — und dass sie überhaupt teils im allgemeinen, teils in denbesonders wichtigen Fällen, wo a = 0 (Polar- oder Equatoreal-Projektion), 90 —<f (Zenital- oder Horizontal-Projektion), oder yO 0(Meridian-Projektion) ist c , eine Keihe von Eigenschaften in sichvereinigt, welche sie mit Kecht zu einer der häufigst angewandtenProjektionen gemacht haben d .

5Kh 103: a. Um den Winkel zu bestimmen, unter welchem sieh zweiy' ihrer Grösse und Lage nach gegebene Kreise

/ schneiden, erhält man aus

d a = r 2 + — 2 r g Co /i

a)* + (ß - b)'

durch Elimination von d die Formel

aU + ld-b) 2 !

Wendet man diese auf die stereographischeAbbildung zweier Meridiane der Längen >-iund an, so erhält man mit Hilfe von 2

sin, + Si 2 1 , — (Coh Sil;

Si;., Cot .,) 2

L) oder ^

2 SiSi

Wendet man sie dagegen auf einem Meridian der Länge l und einen Parallelder Breite <p an, so ergiebt sicli

Co pt, — Si X ■

(Co « + Siy ) 2 + Co 2 y Si 2

(1 -)- Co « • Si <p)

2 Co f/> ■ Si « (Co « -f- Si q>)

0 oder « = 90°

d tp \A<p

womit die ausgesprochenen Sätze, welche nachHalley (Phil. Tr. 1695) schon Hooke und Moivre ge-kannt haben sollen, bewiesen sind. — b. Sind iund <p die Coordinaten eines Kugelpunktes a, sostellen ). + d ). und <p 4- d 9 einen ihm benachbartenPunkt b vor, und es wird b nach seiner relativen

i(p \A<p Lage gegen a und dessen Parallel offenbar sehr

A A+dA A+AA

angenähert durch

d qo 2 -(- d ;. 2 ■ Co 2 9

dl. • Co 9