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Die stereographische Projektion.
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dargestellt. Ist c ein anderer benachbarter Punkt der Coordinaten A + A Aund <f so hat man entsprechend
O -A .„2 I A 12 Tn-.. __O'f.
. A v 2 + AA 2 -Co 2 <j>
, r + ^‘.uo‘ V T«r = -Äi-:co f
und es ist die Gestalt des Dreieckes b ac durch das Verhältnis ah : ac und den
Winkel bac = /3— y vollständig bestimmt.Bezeichnen ferner a' b' c' die Abbildungen derdrei Punkte a b c auf einer Ebene und sindx, y; x + dx, y + dy; x + Ax, y + Ay dieCoordinaten dieser Abbildungen, so hat manoffenbar die Beziehungen
'■ ■nsf-ii-»
wo die Gestalt der Abbildung durch das Verhältnis a‘ b 1 : a' c‘ und den Winkelb' a' c‘ = ß‘ — / bestimmt ist. Wenn daher für eine gewisse Projektion
a 1 b': ab = a'c': ac und ß‘ — r‘ — ß ~~ V S
wird, so ist offenbar die Abbildung in ihren kleinsten Teilen dem Abgehildetengleichförmig oder konform. Dabei bestimmt
M = a‘b‘ : ab S
die Vergrösserung der Abbildung oder deren Masstab an der betreffendenStelle, und es wird daher der Masstab für die ganze Karte konstant sein oderwechseln, je nachdem M von A und q unabhängig oder eine Punktion dieserGrössen ist. — Durch Differentiation der 102 :1 erhält man nun für perspek-tivische Projektionenh
.1
x+d.v
X + &X
a'b' 2 = dx 2 + dy 2 a'c 12 = Ax 2 + Ay 2
dx = ■
dy :
b
n 2
Co q • Si A (a • Co a + Si <p) d A + (Co A + a • m) d q(a Co A + m ) C° <P ■ ( 1 ^ — (a • Si q + Co «) Si A • d q
9
*9 •
Si u Co q Co A 10
wo m — Co q • Si« p Si ■ Co a • Co A n = a -j- Co « Si ^ist, und hieraus folgt mit Hilfe von G‘
b 2 r[(a • Co A -!- m) 2 • Co 2 q + (a • Co « + Si q ) 2 ■ Co 2 q ■ Si 2 A] d A 2 +"
I [(a • Si y f- Co «) 2 • Si* A + (Co A + a • m) 2 ] d <p 2 + I 11
|_2 (a* — 1) (m • Co a — Si q • Co A) Co q • Si A • d q ■ d AFür die stereographische Projektion oder a = 1 hat man somit
a'b' 2 = -
]
a'b‘ 2 =
b 2 (p 2 + q 2 Si 2 A)
•[*
dq 2 -j-dA 2 ■ Co 2 <pJ wo p = m |-CoA, q=Coa j-Siy 1 2
oder, da in diesem Palle p 2 + q 2 Si 2 A = n 2 wird, und anderseits 4 bestellt,
a‘ b' = — -abn
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Anderseits hat man für a = 1 nach G mit Hilfe von 9, 12, 4, 5
p — q • Si A • Tg ß , _ __ p — q • Si A • Tg r
q • Si A + p • Tg ß
Tg ß‘ --
Tg/ :
q • Si A T p ■ Tg y(p 2 + q 2 SPA) (Tg ß Tg y)
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= Tg (ß — t)
m M Tg ß' — Tg y
Tg (ß‘ - •/) = t ..Tg/. Tg/ = (p* -j- q* Si 2 A) (1 b Tg |S • Tg/)'
Es sind also die beiden Bedingungen 7 wirklich erfüllt und damit die Be-hauptung erwiesen. Die Vergrösserung endlich ist nach 8, 13, 10 und 102: lä
M = — =
u
b_
1 + Co 8
= h Se 22
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