264 — Einige Vorkenntnisse aus der Mechanik. — 109

und dass umgekehrt, wenn die Momente in Beziehung auf einenPunkt gleich sind, die Resultante durch diesen Punkt gehen muss,— folglich die Kräfte im Gleichgewichte stehen, wenn dieser Punktfest ist oder mit einer der Resultierenden gleichen Kraft

R = VW + Q 2 + 2 P Q ■ Co (P, Q7 I

gehalten wird, und die Angriffspunkte der Kräfte mit ihm fest ver-bunden sind. — Die Resultante wird nach 1 gleich der Summeoder Differenz der Komponenten, wenn (P, Q) = 0 oder (P, Q) =180° wird, d. h. für parallele Kräfte von gleicher oder entgegen-gesetzter Lage, — und dahei teilt der Angriffspunkt der Resultantedie Verbindungslinie der Angriffspunkte der Komponenten im erstenFalle von Innen, im zweiten Falle von Aussen, im umgekehrtenVerhältnisse der Kräfte: Er heisst Mittelpunkt der parallelen Kräfte,und in dem Specialfalle, wo alle auf ein System von Punkten wir-kenden Kräfte gleich gross und gleich gerichtet sind, wohl auchSchwerpunkt h . — Hat man zwei gleiche und parallele Kräfte vonentgegengesetzter Richtung, so wird ihre Resultierende Null undwirkt in der Distanz unendlich: Es kann somit ein solches Kräfte-paar (Gegenpaar, couple) nicht durch eine einzelne Kraft ersetztwerden, sondern bildet ein elementares, offenbar eine Drehung inbestimmtem Sinne anstrebendes Kräftesystem, — wobei der Abstandder beiden Kräfte Breite, das Produkt aus Breite und einer derbeiden Kräfte aber Moment des Paares genannt wird. Haben, zweiKräftepaare einer Ebene hei entgegengesetztem Sinne gleiche Mo-mente, so stehen sie im Gleichgewichte c , und hieraus folgt, dassjedes Kräftepaar einer Ebene durch jedes Kräftepaar derselbenEbene, welches mit ihm in Beziehung auf Sinn und Moment überein-stimmt, ersetzt werden kann. Es können somit alle Kräftepaareeiner Ebene auf gleiche Breite gebracht und dann durch algebrai-sche Summierung der Kräfte auf Ein Paar reduziert werden, —und ebenso lassen sich auch zwei Paare in verschiedenen Ebenenauf gleiche Breite bringen, dann ;\n die Kante versetzen und nunmit Hilfe des Kräfteparallelogrammes zu Einem Paare vereinigen.

hn 109: a. Der Momentensatz wurde sclion durch Varignon ausgesprochen

und lässt sich sowohl mit Hilfe der

'f Elächensätze als der trigonometrischen

Beziehungen leicht erweisen: Die Figurgiebt für Punkt a, den Flächenbeweis,d. h. den Nachweis, dass a b c d +adef = adhg, — für den Punkt a 3dagegen den trigonometrischen Beweis,oder den Nachweis, dass P • p f- Q • q =K • r. — b. Die weitern Folgerungen

a *4?