272
Einige Vorkenntnisse aus der Mechanik.
113
von m' anzieht, so, sind die Komponenten der von der ganzen Masse m" aufein Element von m' ausgeühten Wirkung
X' = m" ■ P • Co a = m" • P •
x“ — x'
Z' = m" • P
r r r
In diesem Falle wirkt aber auch nach dem Gesetze von Wirkung und Gegen-wirkung ein Element von m' mit derselben Kraft auf ein Element von m",so dass die Wirkung der ganzen Masse m' die Komponenten
X“ = m' • P • Co (180 0 — «) = ' - X “~ X ‘
Y" = — m‘ • P •
y — y
- m' • P •
Z" = — m' • P •
r
z" — z'
0
r r
hat. Hieraus ergiebt sieh aber sofort
m' • X' + m" • X“ = m' ■ Y' + m" • Y" = in' • Z' + in' 1 • Z" = 0und je ähnliche drei Gleichungen findet man für die gegenseitigen Wirkungenvon m' und m‘", m" und m'", etc., so dassVmX=2 1 mY= ymZ = 0 oder nach 2Hieraus folgen aber durch Integration
dx : dt = a' dy : dt = a"und durch nochmalige Integration
x=a'-t + b' y = a" • t-|-b"oder durch paarweise Elimination von ta' , b'-a'" — a'-V"
d*_xdt* =
d*_ydt 2 '
d 2 z
dt 2
. z -f- ■
z - +
dz : dt = a'"z = a'" • t b'"
b" • a‘" — a" • b‘"
&
a'" 1 a"' " a‘" ' a"
welches (93) die Gleichungen einer Geraden im Raume sind. Es bewegt sichalso wirklich unter der gemachten Voraussetzung der Schwerpunkt in einerGeraden, und zwar ist seine Geschwindigkeit nach 3
ds : dt = j/a' 2 + a" 2 + a“' 2 C
d. h. konstant. — c. Multipliziert man die drei Gleichungen 112:8 mit dt undintegriert nach t, so erhält man, wenn c‘, c“, c"‘ beliebige Konstanten sind,x ■ d y — y • d x
2 m •
2 m
2 m
dt
y • d z — z
dy
dt
z•dx — x•dz
dt
= c‘ -f- 2Vm (x ■ Y — y • X) • dt= c" + 2/m (y • Z — z • Y) -dt= V" + y /m (z -X — x • Z) • d t
Nun ergiebt sich einerseits für die zwischen in' und m" thätige Kraft P mitHilfe der oben gebrauchten Werte von X und Y
m' (x' • Y‘ — y' • X') + m" (x" • Y" — y" • X") = 0und ähnliche Gleichungen lassen sich auch für die gegenseitigen Wirkungenvon m' und m'", etc., aufstellen. Bezeichnet anderseits F' eine Kraft, welchem' nach dem um f' entfernten Anfangspunkte der Coordinaten zu führen strebt,so sind offenbar die Komponenten nach den Axen
X' = — F 1 • X ‘ Y‘ ■— — F' ■ - y - Z' = — F' • --
X! f, x x f‘ n f' '
also x' • Y' — y' • X' = y' • Z' — z' ■ Y' = z' • X' — x' • Z' = 0
und ähnliche Gleichungen lassen sich auch für die übrigen Punkte aufstelleu-
Man hat also für beide Arten von Wirkungen und Kräften
2’m (x Y — yX) = 2 m (yZ — z Y) = 2’m (zX — xZ) = 0