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— Einige Vurkenntnisse ans der Mechanik. —

116

Kn 116: n. Bezeichnet dm die Masse eines die Coordinaten x, y, z be-sitzenden Elementes M eines Körpers, p diejenige eines in diesem Körper

liegenden Punktes 0 der Co-

u.de M

ordinaten «, ß, •/, f die An-ziehung der Masse 1 in derDistanz 1, und F die demProdukte der Massen direktund dem Quadrate des Ab-standes umgekehrt propor-tionale Anziehung von Mauf 0, so hat man

f • ft • d mu 2

und somit, wenn g, h, kdie Winkel von u mit denAxen sind, also

y

Co 9 Co g = -—“ Si 9 • Co w = Co h = ?—?

0 n T n

Si ö • Si w = Co k =-= ?— - t

‘ n

u T u

u

ist, für die Komponenten der Anziehung des ganzen Körpers auf 0

Das durch dm repräsentierte Körperelement können wir uns nun als einrechtwinkliges Parallelepiped denken, dessen Höhe du ist und dessen dazusenkrechte Grundfläche die Seiten u-de und At hat, wo nach 92 die letztemGrössen die Beziehung

u * d 9 • Co a -j- A t • Si k = M Mi = A (M Nj = u (Co a • d 9 -]- Si 9 • Si« • d q/)eingehen müssen, so dass A t = u • Si 0 ■ d y folgt. Bezeichnet daher g dieDichte des als homogen angenommenen Körpers, so istd m = q ■ u d 9 ■ u Si 9 d y ■ d u = o ■ u 2 ■ d u ■ d w wo d w = Si 0 • d 9 • d y *

das der Grundfläche des Parallelepipeds entsprechende Flächenelement eineraus 0 mit dem Radius 1 beschriebenen Kugelfläche bezeichnet. Mit Hilfe von1 und 3 gehen aber die 2 in

A = ffiQfff Co g • du • d w B — fpgff/Co h • d u • d w C = f /<g fff Co k • du • d w 4über. Ist nun r der Wert, welchen u annimmt, wenn man OM bis an dieOberfläche des Körpers verlängert, so sind die auf n bezüglichen Integraleoffenbar von u = 0 bis u = r auszudehnen, und man erhält somitA = f/tQffr ■ Co g • dw B = f/igffr ■ Co h • dw C — ipg/fr ■ Co k • dw &Anderseits hat man nach 1, wenn x, y, z jenem Punkte der Oberfläche zu-gehören sollen

x = « + r • Co g y = /? + r ■ Co h z = y + r ■ Co k ®

und, wenn wir als Körper ein Ellipsoid wählen, dessen Mittelpunkt in D lieg 4und dessen Halbaxen a, b, c mit den Axen XYZ zusammenfallen, so ist

x 2 , y 2 z 2 m

a 2 r b 2 ^ c 2Substituiert man aber aus 6 in 7 und setzt

Cog (9Coh yCok

b 2 ^'c 2 a 2 b*

so erhält man

(1 ±JV+lp

9

p r 2 -j- 2 q r — 1