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Einige Vorkeiintnisse aus der Mechanik. —
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dem Mittelpunkte zu nähern. Wenn man ferner in den 13 die Grössen a, b, cin a (1 4- 3), b (1 + 3), e(l+ 3) iibergehe.i lässt, d. h. dem Bllipsoide einähnliches Ellipsoid substituiert, so bleiben die A, B, C unverändert, so langenur die übrigen Bedingungen dieselben bleiben, namentlich 0 dadurch nichtausserhalb zu liegen kömmt, womit offenbar der ausgesprochene wichtige Satzbewiesen ist. — b. Ist nämlich b —a und c = a|/l— e 2 und führen wir
Cod = x und m =‘/j a 3 • ^1 — e 2 y7i 14
ein, wo (98:6) m die Masse des anziehenden Körpers bezeichnet, so erhaltenwir ans 13 mit Hilfe von 46 : 12", 11"
A 3 m /. i f
•f
C
o Kl‘
3m^tf r 1
x 2 • d x 3 ni /i f f e
. .. -•••- Atg .
1 x 2 2a 3 e 3 1. )/l —
x 2 • dx
Kl — e ä o (b~e*) + e 2 x 2
3 m p fa 3 e 3
e )/1
B . -
1 5
-11 — e 2
Atg ,
j/l-e 2
16
oder für ein kleines e mit Hilfe von 40:17 und des binomischen Lehrsatzes
A
m /i f
B
T
c_
y
m /i fa 3
i + v„
17
c. Nach 2 ist■ x ■
■fff
dm
Setzt man hier x=ax‘, y =
wo u 2 = (x — d) 2 + (y — ß) 2 4- (z — y) 2 1*
:by‘, z = cz', so dass nach 7
+ y' 2 + z' 2
l
a (a x' — «) d x' • d y' • d z'
[fax 1 -
,) 2 -
■ (b y' — ft 2 + (cz‘- y ) 2 ]
,i7.
19
30
31
und d m — y ■ d x • d y • d z = a b c y • d x' • d y' ■ d z'
so geht 18 in
A — f/r.yb c ffj
über. Nun ist aber
d [fax'—«) 2 4-(by' ■-j?)* + c(z' --j , ) 2 ] —/2 __ a(ax' — «)
dX [(ax' —a) 2 -j-(by‘ —,7) 2 + (cz' - j-) 2 ] 12
und wenn inan daher in 21 die Integration in Beziehung auf x' zwischen dendafür aus 19 folgenden Grenzen — x, und + x, ansführt, so erhält manrr dy' • dz’
«/«■Z l/ j'n Y - r/Vi -J_ l’ll IT* - .
A =
ib c
-ff-
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V (ax, — «) 2 + (b y' — ß) 2 + (cz‘ — rf
d y‘ ■ dz‘
K( ax i 4- c.) 2 + (by' — ß) 2 + («z' — y)'wo jedes der Doppelintegrale auf alle Elemente der durch 19 bestimmten Halbkugeldes Radius 1 auszudehnen ist. Führt man nun wieder die frühem Polarcoordi-naten ö und xp ein, sowie das Flächenelement dw, von welch’ letztem dy‘ • dz'die Projektion auf YZ darstellen muss, so ist analog 1 und mit Hilfe von 3x, — Co0 y'=Si0-Coy/ z'--SiO■ Sitg dy'-dz‘—dw-Co0=Co0-Si0-d0-d^während die Integrationsgrenzen ß = 0 bis %n, \p = 0 bis 2 n anzuwendensind. Bedenkt man überdies, dass, wenn man im 2. Doppelintegral 0 durchn — f)‘ , also die betreffenden Grenzen durch 8‘ = n bis l 2 ■n ersetzt, seinNenner dem des ersten entsprechend wird, also das zweite sich mit dem erstenzusammenfassen lässt, indem man die obere Grenze für ß bis n ausdehnt, soerhält man schliesslich , !a
, Go 0 ■ Si ß ■ d 0 ■ d w
A — — f/.t y b c ) )
0 *0wo
ß* — (a * Co 0 — «)- + (b Si ö - Co i/i — ß)' 1 + (c • Si 6 - Si y — yf
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