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Die Anziehung des Ellipsoides. —

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ist. Entsprechend erhält man offenbar für die Anziehung eines zweiten Ellip-soides derselben Dichte y, aber der Axen a, b, c, auf einen Punkt 0' derselbenMasse ft, aber der Coordinaten u, ß, y,

71 2 7T.

. , (■ r Co f) • Sl 0 ■ d 0 ■ d tp

f/H^i °i f J- |; - 2 -

A,=

E, 2 — (a, Co 0 — f /., ) 2 4 (hi Si 0 Co y — ß t ) 2 |- (c, Si 0 • Si tp — y,) zist. Nimmt man mm an, die beiden Ellipsoide seien homofokal, der Punkt 0liege auf dein zweiten, der Punkt 0' aber entsprechend auf dem ersten der-selben, so hat man nach 98

«i

a 2

:b 2 -

+ A*_ + M*.

1 b 2 r c äb, 2 = e 2 — c,

« : — a. : a

.£-4

V

ß-ßt

y-r i

und den ersten beiden dieser Gleichungen, sowie den drei Proportionen, genügen offenbar, wenn p und q ganz beliebige Winkel sind, die Wertea, — a • Co p ß, — b • Si p • Co q y t = c • Si p • Si q

« = a, • Co p ß = b, • Si p • Co q y — c, • Si p • Si q

während aus der dritten Gleichung folgt, dass

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: b 2 |- h = c 2 -I- k

auch

a i 2 — h| 2 4 h — c, 2 + k

27

bedingt. Substituiert man aber aus 26 und 27 für u ßy h c und «, ß , y , b, c, in24 und 25, so erhält man R = R,, und somit

A b • c , , B a • c . C a • b

A, b, ■

und analog

B,

sowie

C, a, • b.

2 H

womit der ausgesprochene Satz bewiesen ist. — d. Um die Anziehung aufeinen äussern Punkt 0 zu bestimmen, legt man durch ihn ein zu dem ge-gebenen Ellipsoide (auf welchem 0' dem gegebenen 0 entsprechen mag) homo-fokales Ellipsoid, — berechnet nach dem frühem die Anziehung dieses letz-tem auf 0', — und wendet schliesslich die Proportion 28 an. — e. Als hi-storische Notiz füge ich bei, dass schon Maclaurin in seiner 1740 von derPariser Akademie gekrönten Abhandlung „De causa physica fluxus et refluxusmaris (Pieces de prix IV)“ unser Problem in meisterhafter Weise zu behandelnbegann, wenn auch sich auf das Rotationsellipsoid und einen innern Punktbeschränkend, — dass sodann 1773 d’Alembert (Opusc. math. VI) und Lagrange(Mein. Berl.) die Untersuchung auf das Ellipsoid mit drei ungleichen Axen aus-dehnten, — dann wieder etwas später Legendre (Sav. etrang. X von 1785 undMein. Par. 1788) und Laplace (Mem. Par. 1782 und Mec. cel. II von 1799) auchden schwierigem Fall des äussern Punktes in Angriff nahmen, — und dassendlich Ivory in seinem „Memoir on the attractions of homogeneous ellipsoids(Ph. Tr. 1809)“ und verschiedenen spätem Abhandlungen mit grossem Scharf-sinne betreffende Untersuchungen anstellte und namentlich den nach ihm be-nannten wunderschönen Satz ableitete, der das Ganze auf Einen Schlag zu einemgewissen Abschlüsse brachte. Die oben durchgeführte Behandlung entsprichtwesentlich dem Gange, welchen Poisson 1833 in seinem „Traite de mücaniqne“einschlug, wenn ich mir auch im einzelnen einige Abweichungen erlaubte.