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— Einige Vorkeimtnisse aus der Physik.

120

so dass für eine bestimmte Variation da der Elongation die Variationder Schwungzeit proportional zu der Elongation ist. Es muss alsodie Elongation ganz klein sein, damit eine etwelche Veränderungderselben keinen merklichen Einfluss hat, oder das Pendel, wie mansagt, isochron ist c .

Zu 120: a. Uin die Schwungzeit t des Pendels zu bestimmen, hat man

C

dt =

die nach 115:2 bestehende Gleichung1 ds

big yir=-T

für irgend einen Zwischenpunkt D aufzuschreibeu, d. h.

h = FE = l(l— Co a) = 2 a 1 wo a = Si 2 —

2

| = GE = 1(1 — Co,?) = 2x1ds = 1 • d/S

= Si 2 1

5

zu setzen, wodurch sie in

1 1 • dx

2 -, dx . i = ,lx . j

]/x(l— x)

dt

1

dx

1/2 g Vx(l — x)-l/’2a 1 — 2x1 2 lg ]/l — x • |/ax — x 3

übergeht. Nach dem binomischen Lehrsätze ist aber

1 <, 1 , 1-3 , 1 - 3-5 , ,

___ = i _|-x -|-xM- iH -

VI — x 2 2-4 2-4-6

also erhält man durch Integration, wenn man bedenkt, dass t doppelt so grossals die Zeit ist, in welcher das Pendel von der Elongation ß — v. zur Elonga-tion ,5=0 zurückkehrt, und dass nach 5 letztem Grössen die Grenzwertex = a und x = 0 entsprechen, eine Reihe der Form

t =

/fb

-A. + 4

1 • 3

2 • 4

Aj +

1 ■ 3 ■ 5

2 • 1 - 6

A 3 + -

Nun hat man mit Hilfe von 45:4‘, wenn u =l, d

x ■ dx

-%

gesetzt wird, die Rekursion

. i/

^x /2 • dx'a, — x

a„= r x " lx .- r

J | 7 ax —x 3

0 i 0

_ a (2 n — 1) rx

2 n ^ }/ a — x

folglich mit Hilfe von 46:9A _ 1 - 3 ■ 5 ■■■ (2n —1)

n (a — x)

] +

-= und v = (a — x)"

;2 ■ j/a — xn

a ,1-3/

a (2n 1) rx '* ■ dx

2 n d, ba — x

/2 -dx_a(2n — 1)' 2n

• A„

2 • 4 • 6 • • • 2 n1 • 3 • 5 • ■ • (2n — 1)

■■C

d x _ l_. 3 - 5 - - ■ (2 n — 1)bax — x 2 2-4

■ " ■ ■ ■ L ■ a” [Asi

• 6 ■ 2n L

2x — aa

»i

a n ■ 7i = — 3 ' 5 ■" "" '* . Si 2 " -

2 • 4 • 6 ••• 2n 2

2 • 4 • 6 2n

Hieraus ergiebt sich aber die Reihe 1 ohne Schwierigkeit. — b. Borda erhielt(121,429) unter g? = 45 0 die Länge des Sekundenpendels L = 0'",99351 undhieraus nach 3 : g = 9 m ,80557. Bezeichnet dT = 86400 • dt die sich in einem