,88 GEOlongez le côtéDE jusqu’au pointH, & tirez les lignes F G, F H.
Démonstration. i°. Le cotéA B dans le cas présent est né-cessairement égal au côté DE,puilqu’il ne peut être ni moin-dre , ni plus grand que ce côté ;en voici la preuve sensible.Avance-t’on que le côté ABest moindre qvie le côté DE ?alors on pourra supposer le cô-té AB égal à une partie ducôté DE , par exemple , à lapartie D G ; mais une pareil-le supposition est impossible ,parce qu o ,par la première Pro-position , le triangle A B C &le triangle!) G E scroient égauxentre-eux;donc sangle DEGseroit égal à sangle A G B ;mais celui-ci est déjà supposéégal à sangle DFE ; donc san-gle DEG leroit égal à san-gle DFE ; donc le tout leroitégal à quelqu’une de íesparties',donc le côté AB ne peut pasêtre moindre que le côté DE.
L’on prouvera avec la mêmefacilité que dans shypothèseprésente le côté AB ne peutpas être plus grand que le côtéD E ; pourquoi ? Parce qu’alorsson pourroit supposer le côtéA B égal au côté DE prolon-gé jusqu’au point H ; doncpar la Pròpofition première , letriangle ABC seroit égal autriangle DHF ; donc sangle
GEO
D F H seroit égal à sangleA C B ; mais celui-ci est déjàsupposé égal à sangle DFE;donc sangle DFH seroit égalà sangle DFE ; donc le toutseroit égal à quelqu’une de sesparties ; donc dans le cas pré-sent le côté AB ne peut êtreni moindre, ni plus grand quele côté DE; donc il lui est égal.
2 °. Le triangle ABC &c letriangle D E F ont sangle Aégal à sangle D , le côté ABégal au côté DE , 8c le côtéA C égal au côté D E ; doncpar la première Proposition , cesdeux triangles font égaux en-tre-eux ; donc si deux trian-gles ont un. côté égal, Lc lesdeux angles qui font aux extré-mités de ce côté égaux entre-eux , ces deux triangles serontégaux en tout sens.
Corollaire premier. Si l’onavoir supposé le côté A C égalau côté DE, le côté B C aucôté F E, & sangle A C B plusgrand que sangle DFE , sonauroit eu le côté AB plusgrand que le côté DE. Envoici la démonstration.
i°. Le côté DE, dans shy-pothèse que nous venons defaire , ne peut pas être égalau côté AB , parce qu’alors lestriangles ABC ÔC DE F dontles côtés homologues seroientégaux , auroient par la Ptopo^