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Problème Troisième. Par Ustpoint donné tirer une parallè-le à une ligne donnée.

Construction. Pour tirer parle point C une parallèle à laligne A B fig. 6. pi. 3 ; i°. dupoint C comme centre décri-vez un arc quelconque B D ;2°. du point B comme centre,avec la même ouverture ducompas , décrivez Tare C A ;3°. Prenez fur l’arc B D unepartie égale à Tare C A ; 4 0 .par le point C ôc par le pointD tirez la ligne C D ; je disque cette ligne fera parallèle àAB. Pour le démontrer , je ti-re C B.

Démonstration. Les angles AB C & B C D font égaux ,puifquils son mesurés par deuxarcs égaux ; donc la ligne C Bqui joint les 2 lignes A B& C D, fait avec elles des an-gles alternes égaux ; donc , parle Corollaire sixième de la pro-position quatrième du Livre pre-mier , les deux lignes A BC D font parallèles.

Problème Quatrième. Inscrireun cercle dans un triangle.

Construction. Pour inscrire lecercle D dans le triangle A BC, fig. 7■ pi- 3 ; i°. Divisezles Angles B & C en 2 partieségales, par le Problème second ;2°. du point D où concourentles 2 lignes qui ont divisé les

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angles B & C , tirez une per-pendiculaire fur chacun descôtés du triangle ABC ,par leCorollaire second du Problèmepremiers z", du point D commecentre à l’intcrvalle D G , dé-crivez un cercle ; je dis qu’ilfera inlcrit dans le triangleABC.

Démonstration Les trianglesrectangles D G B &lDF tí onttous leurs angles égaux & uncôté commun , donc ils fontégaux entre eux , par la Propo-sition troisième du Livre premier,il en est: de même des trianglesrectangles D F C Sc DEC ;donc les trois lignes DG ,D F& D E font égales ; donc lecercle D qui touche le côté ABau point G , touche le côtéCB au point F, & le côté ACau point E ; donc le triangleA B C est circonscrit au cercleD,par la définition seconde de celivre quatrième ; donc le cercleD est inscrit dans le triangle

ABC.

Corollaire. Pour circonscrirele cercle D au triangle BAC ,Fig. 8. PI. 3 ; i°. Je divise lesdeux côtés AB &í B C en deuxparties égales par le problèmepremier. 2°. J’éleve deux per-pendiculaires, l’uneau point E yl’autre au point F,par le Corol-laire troisième du Problème pre-mier -