201

CEO

nier. 3 0 . Des angles B ,A y C,au point D où les deux perpen-diculaires D E y D F concou-rent , je tire les trois lignes DB yD A y D C qui seront égales en-tre-elles, parce que, par la pro-pojltion première du livre pre-mier y le triangle rectangleD E A est égal au triangle rec-tangle D E B y Lc le trianglerectangle D F B est égal, autriangle rectangle D E C ; doncles trois angles du triangle BAClont placés à la circonférencedu cercles) décrit du point O,comme centre , à l’intervalleD B ou D A ou D C-, donc letriangle B A C est inscrit dansle cercle D par la définition pre-mière de ce livre ; donc le cercleD est circonscrit à ce triangle.

Problème cinquième. Inscri-re un quarré dans un cercle.

Conflruclion. i°. Je tire lesdeux diamètres A C y B D fig.p. pi. 3 , de telle forte qu’ilsíe coupent à angles droits ; i°.je tire les 4 lignes AB , B C yC D Sc D A y je dis qu’ellesforment un quarré parfait.

Démonflration. i°. Les qua-tre triangles rectangles AÈB yCEB yCED yScDEA ontdeux côtés égaux, Sc l’anglecompris entre ces deux côtésdroit dans chacun, puisque cesquatre lignes A E , C E , B E&D E font quatre rayons duTome II.

GEO

cercle E , Sc que les angles enE font droits ; donc par la pro-pos don première du livre pre-mier y ces quatre triangles fontégaux ; donc leurs quatre basesAB 3 C B y C D Sc D A fontégales ; donc la figure A B C Da quatre côtés égaux.

2°. Les 2 triangles rectanglesA EB Sc C E B font ifofcéles ;donc chacun des angles fur lesbases A B Sc C B vaut 45 dé-grés par le Corollaire premierde lapropos don première ; donctout sangle A B C dont la moi-tié appartient au triangle AEBSc l’autre moitié au triangleCE B y est droit. L’on prouverade même que les angles C , DSc A font chacun des anglesdroits ; donc le quadrilatèreA B C D est une figure de 4côtés égaux & de 4 anglesdroits ; donc , par la définitionseizième du livre premier , c’estun quarré parfait. Mais ce quar-té parfait est inscrit dans lecercle E, par la définition pre-mière de ce Uvre ; donc le pro-blème proposé a été réíolu.

Corollaire. Si vous voulez ins-crire le cercle Jyfig.iopl. 3. dansle quarré A B C D. i°. Divisezchacun de les côtés en 2 partieségales, par le probleme premier :2°. par les points de division E,H y G y F tirez les lignes EG tH F qui se couperont perpen-