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l’on multiplie 2 grandeurs parune troisième , les deux pro-duits font entre-eux comme lesdeux multiplicandes. Multipliezpar 3 les 2 quantités 4 & 8 ,vous aurez d’un côté 1 2 & del’autre 24. Or 12 : 24 :: 4 :8 ; donc les deux produits fontcomme les deux multiplicandes.
Axiome cinquième. Si Tondivise 2 grandeurs par une troi-sième , les quotiens font en-tre-eux comme les dividendes.Divisez par 5 les deux quan-tités 30 8c 6o , vous aurezpour quotiens d’un côté 6 8tde l’autre 1 2 ; or 6 : 1 2 : : 30 :6o ; donc les deux quotiens fontcomme les deux dividendes.
Proposition Fondamentale.
Dans toute proportion Géo-métrique le produit des extrê-mes est égal au produit desmoyennes.
S’il ne s’agistbit ici que de4 quantités numériques, il neferoit pas nécessaire de démon-trer cette proposition ; elle fe-roit démontrée par l’expérien-ce que chacun en pourroit fai-re. Mais comme l’on n’opérepas toujours fur des nombres,nous ne Içaurions nous dispen-ser d’en venir à une démons-tration universelle. Je dis quesi A : B : : C ; D , le produit
GEO 207de la grandeur A multipliantla grandeur D , c’est-à-dire ,A D fera égal au produit de lagrandeur ^multipliant la gran-deur C, c’est-à-dire, au produitB C. T ou t le monde fçait qu’onmultiplie une lettre par l’autreen mettant une lettre à côtéde l’autre.
Démonjlration. Puisque A :B :: C : D y supposons i°. queje multiplie la grandeur A parle conséquent D , 8c la gran-deur B par le même consé-quent D , le produit fera d’uncôté A D 8c de l’autre B D 8cj’aurai par Xaxiome quatrièmela proportion A : B : : A D :B D.
Supposons 2 0 . que jc multi-plie la grandeur C par le consé-quent B 8c la grandeur D parle même conséquent B , j’auraipar {'axiome quatrième la pro-portion Géométrique C : D ::BC : B D.
3 0 . Puisque par suppositionA: B : : C: D , j’ai les 3 propor-tions Géométriques suivantes.
i ere . Proport. A : B : : C : D.
2 e . Proport. A : B : : A D : BD.
3 e . Proport. C: D : : B C : B D.
Donc par l’Axiome premier.
A D : B D : : C : D
Mais par la Proportion 3°.
C : D ;; BC : BD.