L14 GEOportez le triangle E F D sur letriangle BCA ; le triangle EFDoccupera l’cspace qu’occupe letriangle H C j, 8c par consé-quent tout ce que l’on dira dutriangle H C j devra Rappli-quer autriangle EFD.

2 0 . Les angles H j C 8c B A Cfont supposés égaux , donc , parle Corollaire sixième de la propo-sition quatrième du livre pre-mier , les deux lignes A B 8c j Hfont parallèles.

3 0 . Par la proposition secondede ce sixième livre , l’on a laproportion suivante;B H:HC::A j : j C, donc , componendo >l’on dira ,BC:HC::AC:jC;mais H C est égal à E F 8c j C àD F, donc B C: EF:: A C :D F ; donc , alternando , B C :A C : : E F : D F ; donc les trian-gles semblables ou équianglesont en proportion les côtés quise trouvent autour des angleségaux.

Corollaire premier. Toute li-gne parallèle à l’un des côtésd’un triangle , partage le trian-gle de telle forte, que le petitest semblable au grand, c’est-à-dire, équiangleavec le grand.Carqu’on suppose H j parallèleà A B , sangle H sera égal àsangle B, sangle j à sangle A ,&C sangle C sera commun augrand triangle BCA 8c au pe-tit triangle H C )’, doue ces

G E O

deux triangles seront équian-gles ; donc toute ligne parallèleà su n des côtés d’un trianglepartage le triangle de telle sor-te , que le petit est semblableau grand.

Corollaire second. Deux li-gnes qui íe coupent dans uncercle, se coupent en propor-tion réciproque , c’cst à-dire ,puisque les deux lignes AB 8cC D le coupent au point E dansle cercle A C B D, Fig. 18. PI.3. je dis que l’on aura la proportion suivante , AE: E C : :E D : EB. En voici la preuve.

i°. Les deux triangles AEC8cBED íont équiangles, puis-que les angles en E opposés ausommet font égaux ^par la pro-postion quatrième du livre pre-mier ; que les angles A CE 8cDBE qui insistent fur l’arcA D ; 8c les angles C A E 8cB D Equi insistent fur l’arc B Cfont égaux entre-eux, par le Co-rollaire troisème de la propos-tion troisème du troisème Livre.

2 0 . Par la propestion supé-rieure , l’on a la proportionsuivante , A E : E C : : E D :E B ; donc les deux lignes A B8c C D se coupent en proportion-réciproque , puisque le premier8c le dernier termes de cetteproportion appartiennent à laligne AB, 8c le second avecle troisième termes à Ja ligne