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C D ; donc deux lignes qui secoupent dans un cercle se cou-pent en proportion réciproqueou en raison inverse.
Corollaire troisième . Lorsquedeux lignes se coupent dans uncercle, le rectangle fur les seg-mens de l’une est: égal au rec-tangle fur les íegmens de sau-ne , c’est-à-dire , le rectanglefait íur les segmens AEScBEest égal au rectangle fait furiessegmens E C Sc E D. En effetl’on a par le Corollaire précé-dent la proportion suivante ,A E : E C : : E D : E B ; donc ,par la Proposuion fondamentaledu livre cinquième , A E multi-pliant E B est égal à EC mul-tipliant E D ; mais A E multi-pliant E B donne pour produitle rectangle fait íur les segmensAEScE B , Sc E C multipliantED donne pour produit le rec-tangle fait íur les segmens E C& ED; donc le rectangle faitfur les segmens A E & É B estégal au rectangle fait fur lessegmens E C Se E D ; donc lors-que deux lignes se coupent dansu n cercle,le rectangle fur les seg-mens de l’une est égal au rectan-gle íur les segmens de l’autre.
Corollaire quatrième. Si d’unpoint hors d’un cercle l’on tiredeux lignes dont l’une soit tan-gente & l’autre sécante, le quar-te de la tangente sera. égal à un
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rectangle fait sur toute la sé-cante Sc sur le segment exté-rieur. Sidu point À, par exem-ple , qui se trouve hors du cer-cle BDEFC , fig. 17 • pi 3l’on tire la tangente A B Sc lasécante A C D, le quarté formésur la tangente A B sera égal àun rectangle , qui auroit pourbase la sécante A D & pourhauteur le segment A C. En voi-ci la preuve.
i°. Les deux triangles A B DSc A B C ont sangle A qui leurest commun, Scies angles ABCSc A D B égaux, puisque le pre-mier est mesuré par la moitiéde sarc B.C , par le Corollairecinquième de la proposition troi-fième du livre troisième , Sc quele second a précisément la mê-me mesure , par le corollairepremier de la même proposition ;donc ces deux triangles fontéquianglcs.
2 0 . Puisque les deux trianglesA B D Sc A B C font équian-gles , l’on aura, par la propo-sition précédente , la proportioníuivante, A D : A B: : AB : AC;donc, par la proposition fonda-mentale du livre cinquième ,A D multipliant A C est égal àA B multipliant A B ; mais A Bmultipliants B donne le quar-té formé fur la tangente  B ,S C A D multipliant A Cdonr.eun rectangle qui a pour baie la