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sécante A D St pour hauteur lesegment A C', donc le quarréde la tangente est égal à un rec-tangle fait sur toute la sécanteSt sur le segment extérieur.

Proposition quatrième. Deuxtriangles qui ont un angle égalSt les côtés autour de cet angleproportionels, font semblables.

Explication.Sï les deux trian-gles B C A St D FEy Fig. 16.PI. 3. ont les angles C St Fégaux , St que B C : A C : : F E :D E , je dis que ces deux trian-gles seront semblables ouéquiangles. Pour le démontrer ,faites fur la base E Fie triangleF E G semblable au triangleB C A.

Démonsration. i°. Puisqueles triangles BCA èc. FEGfont supposés semblables, l'onaura, par la Propofition précé-dente , la proportion suivante ,B C : : A C : F E : G E ; maisl’on a déjà par suppostion ,B C : A C : : F E : D F ; doncl’on aura , par VAxiome pre-mier du Livre cinquième , F E :G E ; : F E : D F ; donc , al-ternando , F E : F E : : G E :D F ; mais le côté FE est égalau côté F E , donc le côtéGE est égal au côté D F.

2°. Les deux triangles D FESt FE G ont le côté FE com-mun , le côté GE égal au côtéD F &c l’angle D F E égal à

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l’angle FEG, donc , par laPropostion première du Livrepremier , ces deux triangles font

egaux entre eux.

3 0 . Le triangle B C A est sem-blable au triangle F £ G , doncil est semblable au triangle DF E qui vient d’être démontréégal au triangle FEG; doncdeux triangles qui ont un angleégal, St les côtés autour de cetangle proportionels , íont sem-blables ou équiangles.

Propostion cinquième. Danstout triangle rectangle la per-pendiculaire tirée de l’angledroit fur le côté opposé , par-tage le grand triangle en deuxpetits triangles qui lui fontsemblables, St qui font sem-blables entre-eux.

Explication. Dans le triangleABC rectangle en B, fig. 17.pi. z. la perpendiculaire B Kpartage le grand triangle ABCen deux petits triangles B K CSt B K A semblables au grand,St par conséquent semblablesentre-eux.

Démonsration. 1°. Le grandtriangle A B C St le petittriangle B K C ont chacun unangle droit, l’un en B, St l'au-tre en K , St l’angle C leur estcommun ; donc ils font équi-angles St par conséquent sem-blables.

i°. Le grand triangle ABC0 & Sc