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Démonflration. i°. Les deuxtriangles ABC &í AB D ontmême hauteur, puisqu’ils vontaboutir tous les deux au pointA ; donc , parle Corollaire troi-sième de la première Propofitionde ce Livre , l'on a la propor-tion suivante ; le triangle ABC:au triangle AB D : : la baseC B : k h base B IX

i°. Par la même raison lesdeux triangles DBE & ABDqui vont tous les deux aboutirau point O , donnent la pro-portion suivante ; le triangleDBE : au triangle ABD : : labase BE : k la base A B.

3°. L’on a donc ces deuxproportions ;

ABC: ABD :: CB : BD.

DBE: ABD :: BE : AB.

4°. L’on a par supposition,C B : B D : : B E : A B ; doncau lieu d’employer la raison deBE à AB, je pourrai emplo-yer celle de C B à BD ; doncje pourrai dire.

ABC : ABD :: CB : BD.

DBE . ABD :: CB : B D.

J °. Par l'axiome premier duLivre cinquième , l’on pourradire ABC : ABD :: DBE :ABD ; donc , alternando ,

ABC : DBE : ; ABD : ABD i

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mais le triangle ABD est égalau triangle ABD ; donc letriangle ABC est égal au trian-gle DBE ; mais ces deux der-niers triangles ont un angleégal Sc les côtés autour de cetangle en proportion récipro-que; donc les triangles qui ontun angle égal ôc dont les côtésautour de cet angle font enproportion réciproque , fontégaux entre-eux.

Propofition septième. Lestriangles semblables font en rai-son doublée de leurs côtés ho-mologues , c’est-à-dire , fontcomme les quartés de leurs côteshomologues.

ExplicationSi les deux trian-gles A B D 6c FEG fig. 2.0.pi.3 , font semblables , l’on aurala proportion suivante ; le trian-gle A B D : au triangle FEG::le quarté de B D : au quartéde E G. Pour le démontrer, jetire la ligne A C , de façon queB D : E G : : E G : B C.

Démonstration. i°. Les trian-gles A B D 6c F E G font sem-blables ; donc , par la propo-fition troisième de ce livre ,l’on dira; AB : BD : : FE:E G ; donc, alternando , AB:FE :. BD : EG; mais s par cons-truction , BD : EG : : EG : BC ;donc, par /’axiome premier dulivre cinquième A B : F E : :EG:BC; donc, par la pre-