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CONSTRUCTIONPour faire voir maintenant comment on parvient à déterminer lesconstantes dans l’équation (i) , il suffira de reprendre la méthodegénérale pour l’intégration des équations de la forme

A Q Z(x) + A ; + i) + A /( z (æ + 2) + . .... . + Afo) ZÇ x ^. n ^'=0.

Cette méthode consiste à substituer dans les divers termes de cetteéquation, aux z affectés d’un accent, une quantité a élevée à une puis-sance dont le degré est marqué par l’accent de z. Elle devient alorsdivisible par a x , x disparaît, et l’on a pour Y équation de relation :

A o + A ( a + A (( a" + . . . . '. . + A( ra ) a" = o.

Cette équation étant résolue par rapport à « donnera n valeurs quenous représenterons par p,, p /( , p /;( ,.... p(„) : on aura donc z( x ) = p / j; =P,* = P«*= etc -> a (*+i) = P* +I = P„* + I = P„* +I = etc- , et ainsi desuite. Chacune de ces valeurs donnerait une des intégrales cherchées;mais il est évident qu’elles doivent toutes entrer dans l’intégrale cora-plette, qui doit aussi contenir un nombre n de constantes arbitraires.En effet, on a nécessairement les n équations:

A p- 4 -A,e-+ I +A 1J Pl *+ 2 -b.

■ • -+A(«) p ( *+" = o,

A P,/ B +A 1 P,‘ +, -uA„ P „«+»+._-

• • -+A W p< -+»=o,

K P(») + A , P(»f +I + A ;; p (re f+ 2 +. .

• • . + A(„) P(„f+"=o;

ces équations subsisteront encore en les multipliant respectivementpar des coefficients constants [t o , , p /; ,.... et en les ajoutant après

cette opération, elles donneront

A„ ( V; P * -P IA, p/ + P, * •+■••• + l'-W POf ) \

+ A , (l A ,P * +1 + l A «P«* +I + J* m p„*' fI +- • - + . tt C»)P(»)* +I ) #

+ A„([A P / X + 2 + fi«P/ + 2 + ^P;/ + 2 +- • - + W»)P(»f + a ) (

+

+

■ a(»)([A P *+" + (A/ P/ + '"+p„ * +n +- ■ -h ft») ?(«)"+")

= o.