PREMIÈRE PARTIE.

THÉORIE.

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en produit, nous aurons

«)

zt — z-U-i

II!

(■ — y'")(i — ■ | (i— <7"')(i —

( J — - I 1.1 (1 — — 1 I. (i — .q"‘z~ î )(l-

m m

in = 1, . . ., 7 |JL, .. ., ~ se.

Considérons, d’autre part, la fraction limitée suivante

0)

. . Il'fl — a") II(i — a“3-v)

|I( , — x :l x) II ( 1 — X"'y) ’

dans laquelle, pour former les divers facteurs des produits, ondonne à n les valeurs

n = — ;a, ■— ;i + i, — ;j. -I— a, . . ., .. . -s- ( g — ! ), ;a,

c’est-à-dire celle des entiers successifs de — o à -f- p. inclusive-ment, sauf toutefois pour le produit II' où l’on ne donne pas à nla valeur zéro.

Nous allons d’abord reconnaître que cette fraction (i), si l’onv fait croître u au delà de toute limite, ne diffère pas de la précé-dente. En effet, si l’on y sépare d’abord les facteurs répondant àn = o, et qu’on y mette en évidence ceux où n est négatif et égalà — on pourra l’écrire ainsi

/ r ? (i— z'QO— x"xy) ij (i — — a—’jy )

^ ^ ' (i — x)(i—y')lJL(i—a".r)(i— a'^jllfi— x-' l 'x)(t — x-"'y)

__ i —ry 1 T (i — a")(i —• x n xy) ITT (■ — a"')fl — x n 'x~ ’y')

(i — a: )(i — y) 1.1 (i — a"j-)(i — a"y) X JL (i — x n ' — x n 'y ~ 1 )’

et les nombres n, n' seront les entiers positifs 1 , 2 , .. ., ia. Simaintenant on suppose

(3) a = 7 s > x = “b y = t-,on a évidemment

(4) lim o(x, y) = —

{JL = » 1

En faisant donc subir une transformation quelconque à a(x,y)et prenant la limite de la formule obtenue, nous aurons obtenuune transformation de f(u).

Nous allons, pour ce but, décomposer 'z(x,y) en fractions sim-ples par rapport à la variable y'.