CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQl'ES. l^\~]

et la condition ci-dessus se traduit par celle autre

CO -*r(£)<h(£-)<*r(£).

\ 110 / \ ( (a / v < /

Dans ces limites (1 1), la formule (10) est exacte.

On ne peut manquer d’observer le lait suivant : la fonction qu’onvient de développer ainsi est symétrique par rapport à a et e,tandis que les développements ne présentent pas cette svmétrie. Ilest donc désirable de transformer les seconds membres, pourmettre la symétrie en évidence. Mais il est manifeste qu’alors ilfaut faire, sure, la même hypothèse que sur u. Nous allons doncsupposer maintenant

M<M< V- ■

Si nous développons, suivant les puissances ascendantes de t,la fraction

q 2 " z^'t 2~i — q-"t-

q*'< z*-"t 2 (l -f- + . . .),

ce développement est convergent d’après l’hypothèse, et sonterme général est q- nm z- n l- m , où n et m sont deux entiers, aumoins égaux à + i. Chaque terme de l’avant-dernière somme dansla formule (9) donne lieu à un développement analogue; de même

aussi, sauf changement de - et t en ‘ et j, chaque terme de la der-nière somme donne un développement analogue et convergentd’après l’hypothèse. Il est, pour ainsi dire, évident dès lors quela formule (9) se change en cette autre

"( » ■+■ v e - ir _ i~ f 1 - -t-

112)

n jm )

1, 2, 3 , ..., -t- x;

_ éüh z z- 1 1 t 1-'

10 L'2 Z Z~ l '1 t t~ l

— qînnt ( - 2 « fini -— 2 n (~im ^

l 7 i<l-l< ‘

M<M<

Pour établir ce fait en toute rigueur, il suffit d’observer que la

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