160 EXPOSITION

Si la loi de la force est donnée, la recherche de la courbe qu’elle faitdécrire, présente plus de difficulté. Mais quelles que soient les forcesdont le corps toujours supposé libre est animé, on déterminera facile-ment de la manière suivante, les équations différentielles de son mou-vement. Imaginons trois axes fixes perpendiculaires entre eux; laposition du corps à un instant quelconque, sera déterminée par troiscoordonnées parallèles à ces axes. En décomposant chacune desforces qui agissent sur le point, en trois autres dirigées parallèlementaux mêmes axes; le produit de la résultante de toutes les forcesparallèles à l’une des coordonnées, par l’élément du temps pendantlequel elle agit, exprimera l’accroissement de la vitesse du corps,parallèlement à cette coordonnée; or cette vitesse peut être supposéeégale à l’élément de la coordonnée, divisé par l’élément du temps ;la différentielle du quotient de cette division, est donc égale auproduit précédent. La considération des deux autres coordonnéesfournit deux égalités semblables; ainsi la détermination du mou-vement du corps, devient une recherche de pure analyse, qui seréduit à l’intégration de ces équations différentielles.

En généralj l’élément du temps étant supposé constant, la diffé-rence seconde de chaque coordonnée, divisée par le carré de cet élé-ment, représente une force qui, appliquée en sens contraire au point,ferait équilibre à la force qui le sollicite suivant cette coordonnée.En multipliant la différence de ces forces, par la variation arbitrairede la coordonnée, et ajoutant les trois produits semblables relatifsaux trois coordonnées; leur somme sera nulle par la condition del’équilibre. Si le point est libre , les variations des trois coordonnéesseront toutes arbitraires, et en égalant à zéro, le coefficient dechacune d’elles, on aura les trois équations différentielles du mou-vement du point. Mais si le point n’est pas libre, on aura entreles trois coordonnées, une ou deux relations qui donneront unpareil nombre d’équations entre leurs variations arbitraires. Enéliminant donc à leur moyen, autant de ces variations, on égalerales coefficiens des variations restantes, à zéro; et l’on aura leséquations différentielles du mouvement, équations qui, combinéesavec les relations des coordonnées, détermineront pour un instantquelconque, la position du point.