J 88 EXPOSITION
Concevons que dans le mouvement du système, tous les corpsarrivent au même instant, dans la position où Userait en équilibreen vertu des forces accélératrices qui le sollicitent : la variation dela force vive y sera nulle par le principe des vitesses virtuelles ; laforce vive sera donc alors à son maximum ou à son minimum.Si le système n’était mu que par une seule espèce de ses oscillationssimples; les corps en partant delà situation d’équilibre, tendraientà y revenir si l’équilibre est stable ; leurs vitesses diminueraientdonc à mesure qu’ils s’en éloigneraient, et par conséquent la forcevive serait dans cette position, un maximum. Mais si l’équilibren’était point stable, les corps en s’éloignant de cet état, tendraientà s’en écarter davantage; et leurs vitesses iraient en croissant; leurforce vive serait donc alors un minimum. De là on peut conclureque si la force vive est constamment un maximum , lorsque lescorps parviennent au même instant à la position d’équilibre, quelleque soit leur vitesse, l’équilibre est stable; et qu’au contraire, iln’a ni stabilité absolue, ni stabilité relative, si la force vive danscette position du système, est constamment un minimum.
Enfin, on a vu dans le second chapitre, que la somme des intégralesdu produit de chaque force finie du système, par l’élément de sadirection, somme qui dans l’état d’équilibre est nulle, devient unminimum dans l’état de mouvement. C’est en cela que consiste loprincipe de la moindre action, principe qui diffère de ceux dumouvement uniforme du centre de gravité, de la conservation desaires et des forces vives, en ce que ces principes sont de véri-tables intégrales des équations différentielles du mouvement descorps ; au lieu que celui de la moindre action n’est qu’une combi-naison singulière de ces mêmes équations.
La force finie d’un corps, étant le produit de sa masse par savitesse, et la vitesse multipliée par l’espace décrit dans un élémentdu temps, étant égale au produit de cet élément par le carré dela vitesse ; le principe de la moindre action peut s’énoncer ainsi.L’intégrale de la force vive d’un système, multipliée par l’élémentdu temps, est un minimum; ensorte que la véritable économiede la nature, est celle de la force vive. C’est aussi l’économie quel’on doit se proposer dans la construction des machines qui sont