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e) Wie man unter jeder Bedingung, welche sowohl eine der bereits ange-jahrten drey, als eine andere seyn mag, oder auf eine allgemeine unbedingte Artdie Korblinien aus drey Mittelpunkten berechnen könne, zeigt folgende Auflösung.

Man setze (Fig. 20.) o a x = y , o t x, so ist t a x — V y 2 4- x 2 , a x a =s 5

— y, im 1=3 TS — h Hb X/ folglich, weil t a x *+ a x a == t m, y 2 •+• x z

& — y ~ h *+* x, daher ,ac = (b — h) (h — .6 Hh 2 y) , und der kleine Radius

2 (h — b -f. y)

a x a == a a x = r — b — y, der gröfsere t m — t s ~ t m ~ r — h -h(b — K) (h — 5 + 2 y) =: fe 2 — b 2 •+• 2 b y,

2 (h — & + y) 2 (h. — b •+- y)

Man sieht, dafs die Gleichung T a 1 H- a x a ~ t m unzählige Arten von Korb-linien zuläfst, und mit allen Bedingungen, welche bestimmte werthe von y odergegebene yerhältnisse zwischen y und x, y und r, x und r oder k und r etc. ansich tragen, übereinstimmt. Jedesmal mufs aber h > b — y oder r seyn, denn fürh = b — y wäre ,x ~ y 2 ^ «, hingegen für h < b ■— y würde x verneint,

&

dies gäbe eine Linie, die für unsern zweck ganz unbrauchbar wäre.

f) Eine andere Außösung dieser unbestimmten Aufgabe ist diese. Mannehme (idg. 20.) irgend einen Theil ss x von der Hohe so, trage ihn von a in a x ,ziehe die Linie a x s 1 und errichte auf ihrer Mitte t den Perpendikel fr, so wirddieser mit der verlängerten Hohe in t sieh schneiden, und der runct r der Mittel-punct des mittlern Bogens mm, so wie a x der des äufsern Bogens a m seyn. DieseConstruction giebt a x t — s x t und A Ä x — s s x , also A A x +• A x T = s T'welches die allgemeine Bedingung der Korblinien ist. Es ist nicht zu erinnern nö-thig, dafs der Punct s 1 auf der Linie s o nach Willkühr genommen werden kann,ein Umstand, welcher die Unbestimmtheit der Auflösung oder die Möglichkeit der un-zähligen, individuellen Arten von Korblinien innerhalb den zwey Grenzen A A x ~ 0und A A x ~ so, enthält. Diese zwey Extreme sind in (Fig. 21. und 22-) dargestellt,in deren letztem a m ein sogen von Q0° und m m geradlinig! ist, und wodurchzugleich der möglich gröfste Ftaum umspannt wird; daher eine Korblinie dem Was-ser desto mehr oeffnung darbiethet, jemehr sie sich dieser Grenzfigur nähert. Dieanalytische Weehselbestimmung der 2 Radien r und r ergiebt sich, indem A x t

= (b — rj 2 -b (r — hj 2 , und A A x A x T — s T = r 4- V ( b — r) 2 -}- (r — h) z

— k, also R—b z -bh z — 2 b r. Diese Gleichung giebt für r — o (Fig. 2 t.) R — b 2 >4-* h*

2 h — 2 r 2 h

und zugleich den Beweis, dafs r niemals > h werden kann, weil schon, bey r =?,halso 2 h — 2 r=jo, r unendlich wird (Fig. 22.) Diese nämliche Bemerkung folgerteaus der voi'hergehenden Auflösung.