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Cette équation donne pour la valeur de la force P,D _ J „ h t tang. *(cos. ? — f si n. c) _ _

sut. ► -f- f cos.

cos. » (sin. 9 -\-f cos. « ) ’

ou, en mettant pour f sa valeur T .

sin. t’

P == i « A’ tang. « tang. ( f — « ) — hx

sin. t

cos. *cos. ( T — «

Si Ton cherche le maximum de cette expression en y faisant varier l’angle *.on trouvera pour la valeur de « correspondante à ce maximum,

a = ï T >

ce qui est le théorème démontré par M. deProny, qui consiste en ce que le prismede plus grande poussée est donné par le plan incliné qui partage en deux partieségales l’angle que le talus naturel des terres, la cohésion étant supposée détruite,forme avec la verticale.

En mettant dans l’expression de P cette valeur de », cette expression deviendra

P = i w A* tang* | f — 2 x A tang. { r tou, en faisant pour abréger tang. ? T = t ,

p == j n A* P — 2 y A f.

On déduit facilement de cette équation le point de la hauteur du mur où la

puissance P doit être censée appliquée. La somme des pressions horizontalessera, pour une hauteur quelconque z , égale à { " z’ t' — 2 f z 2, dont la diffé-rentielle (*zC — 2 r t) dz représente la poussée élémentaire exercée sur laportion dz de la hauteur du mur placée à la profondeur z au-dessous de la sur-face supérieure du terrain. Celte poussée élémentaire agissant à l’extrémité d’unbras de levier dont la longueur est h — z, son moment sera représenté par[ — * z % f + (* ht* + 2 xt ) z — 2 r ht] dz : en intégrant cette expressiondepuis z = o jusqu’à z = h. on trouve pour la somme des moments des pousséesélémentaires,

f * A 5 < s — x A* t.

Divisant cette somme par celle des poussées, qui est \ * /t» t 1 —2 > h t. il vient

pour la valeur du bras de levier de la force P, ou pour la distance au pied dedéblai du point d’application de la force qui résulte de la poussée de la terre.

Si l’on suppose nulle la force de cohésion dont la valeur est représentée par x.