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Gleichung für die Cyldoide.

denken; es ist daher l>'b = der Sehne A"b und so in allen folgenden Punkten. Dem-

Fig. nach kann die Cykloide auf folgende Art verzeichnet w erden. Ist der Kreis A " O" in

Tab. 12 Theile getheilt, so ziehe man durch die Theilungspunkte a, b, c, d, ... die zur Grund-72. linie parallelen Linien aa, bb, c c, dd . . . .; aus dem ersten Theilungspunkte a'

schneide man mit der Sehne A" a die erste Parallele a a, aus dem zweiten Punkte b'

mit der Sehne A" b die zweite Parallele bb, . . . . durch, so werden alle diese Durch-schnittspunkte mit einander verbunden die verlangte Cykloide geben.

Da es zu weitläufig und für unsern Zweck auch unnöthig seyn würde, die ganze

Cy kloide zu beschreiben, so wollen wir uns erst eine Gleichung für diese krummeLinie suchen. Es sey J ein Punkt in der Cykloide, die Ordinate Jm = y und

die Abscisse Am = x. Man verbinde den Punkt J mit dem Mittelpunkte D des Krei-ses und ziehe durch J die Horizontale GJF. Setzen wir den Winkel JDE = A und den

Halbmesser des Kreises JD = b, so ist der Bogen JE = AE b . A, die LinieJ F = b . Sin A, also A m == A E — m E z= A E — JF = b . A — b. Sin A z=z x. F erner istDF = b.CosA, also Jm = FE = DE— DFz=b — b . Cos A = 2b . Sin 2 % A = y. Mit-telst dieser zwei Gleichungen lassen sich die Coordinaten x und y für jeden Winkel A

berechnen und die Cykloidallinie verzeichnen. Zur Erleichterung dieser Zeichnung

haben wir in der unten beigefügten Note*) noch den Krümmungshalbmesserder Cykloide bestimmt.

§• 29 .

Denken wir uns einen Triebstock, der in A seinen Mittelpunkt hat, so wird dieser

Fi s . Punkt A die angegebene Cykloide beschreiben. Weil die Halbmesser des Triebstockes Aa

und Aa' zu beiden Seiten der Cykloide gleich sind, so werden die Linien aa", a'awelche von beiden Seiten des Triebstockes beschrieben werden, zur Cykloide des Mittel-punktes parallel seyn, und der zwischen diesen beiden äussern Parallellinien einge-

schlossene Raum aa'a'"a" wird denjenigen Raum bezeichnen, welcher frei bleibenmuss, wenn der Triebstock sich ungehindert bewegen soll. Denken wir uns nun aufder Entfernung eines Zahnes oder in E auf gleiche Art einen zweiten Triebstock,

*) Dillerenziren wir die beiden Gleichungen für x und y, so erhalten wir

d x = b . d A(1 — Cos A) — 2 b . d A. Sin 2 y 2 A, und d y =: b . d A . Sin A — 2 b . d A . Sin ’/ 2 A . Cos % A.

Mithin ist ds—Vdx 2 -fdy a =:2b . d A . Sin % A . Vsin 2, / 2 A + Co» 2 y 2 A — 2b. dA . Sin % A. Darausd x

folgt — —Sin JII F — Sin % A, wenn wir nämlich in J zu dem Bogen die Tangente JII ziehen.

Demnach ist der Winkel J II F ^ % A. Ziehen wir nun D p winkelrecht auf J E, so ist der WinkelpDE — %A, also ist die Tangente JII parallel zu Dp und die Sehne JE liegt in der Richtungdes Krümmungshalbmessers, weichen wir mit R bezeichnen wollen. Zur Bestimmung seiner Grösse‘ setzen wir den Winkel II J F — 90 — y 2 A — fi m , demnach ist dA ——2 du. Wird dieser Werthin die oben für ds gefundene Gleichung gesetzt, so haben wir ds — — 4 b . d fi. Sin % A. llier-

d s

aus folgt der Krümmungshalbmesser R =:

= 2.2 b. Sin ’/ 2 A — 2 J E, also ist der Krüm-

mungshalbmesser der doppelten Länge der Seime JE gleich; er ist im Anfangspunkte A = 0 undnimmt mit dem Winkel A zu, bis 2 / 2 A = 90°, wo Siny 2 A = 1, folglich der Krümmungshalbmesser

im Scheitel P —4 b oder dem doppelteo Durchmesser des Kreises gleich ist, von da nimmt der

Krümmungshalbmesser auf dieselbe Art wieder ab..

wm-