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Krümmungshalbmesser für die Abrundung der Zähne.

welcher dieselbe Cykloide rückwärts beschreibt, so wird von der andern Seite des Fig.Zahnes für die ungehinderte Bewegung des Triebstockes derselbe freie Raum erfordert,Daraus sieht man von selbst, dass die Gestalt des Zahnes durch den zu 72.beiden Seiten von den Cykloiden übrig gelassenen Raum a i i' e be-stimmt wird.

Da die Umfangslinie des Zahnes offenbar zu den Cykloidalbögen AJ und EJ'parallel seyn muss, so wollen wir zur leichtern Verzeichnung den Th eil dieserkrummen Linien, in welchem der Triebstock mit dem Zahne in Be-rührung bleibt, als einen Kreisbogen betrachten und hierzu den Mittel-punkt za bestimmen suchen. Obwohl durch diese Annahme die Bedingniss, dass dieKrümmungshalbmesser des Cykloidalbogens von A aus immer zunehmen sollen, nichterfüllt wird, so sieht man doch von selbst, dass die Abweichung von so kleinen Bögennicht gross seyn, und dass man über den Unterschied unbedenklich hinausgehen kann,wenn nur der erste Eingriff des Zahnes bei a und der letzte bei igenau mit der Cykloide übereinstimmt.

IVenn nun a i ein Kreisbogen seyn soll, so müssen wir den Punkt a, demnach dieHöhe in und die Abscisse an suchen. Die Entfernung aE ist offenbar A E — Ä a.Setzen wir den Halbmesser des Triebstockes und die halbe Dicke des Zahnes ein-ander gleich und bezeichnen sie mit r, so ist die Entfernung der Mittelpunkte derzwei Triebstöcke AE = 4r; wird hiervon der Halbmesser des Triebstockes Aa = rabgezogen, SO bleibt aE = 3r. Die Sehne JE ist, w-ie wir früher gezeigt haben,

= 2 b. Sin y 2 2 und wenn wir den Bogen % l kleiner als i annehmen, so ist wie be-

2 *

kannt Siny 2 2 = y 2 2— — folglich ist JE = b.2

JE — b . 2 — dem Raume AE=4r ist, so haben

^1——Weil aber der Bogenwir auch b.2 = 4r und

JErz^r^! - ^-V Wird hiervon die Stärke des Triebstockes Ji:=r abgezogen,

' 2 *' r. 2* / ' 2*\

.' ‘ = 3 '(‘-i8>

so*

bleibt i E = 3r

Da nun der Winkel iEn, welchen die Sehne iE mit der Tangente des Kreises*macht, die Hälfte des abgeschnittenen Bogens zu seinem Maasse hat, folglich

IEn = y 2 2 ist, so haben wir in = i E-Sin % 2 = 3r^l — — ^ Sin *42 = 3 / 2 2 • r, wenn*

nämlich die hohem Potenzen von */ 2 2 vernachlässigt werden.

Auf gleiche Art ist auch nE = iE . Cos % 2 = 3 r (i — •—Vl— —^ =

/ 13 \ ' . 8 /

Sr fl -2 J ) • Wird nun nE von aE abgezogen, so ist

' ^ 72 L n / 13 \ 13 r • 2*

\ 72 ) 24

Aus diesen Werthen Yon an und ni ergibt sich der Halbmesser des Kreisbogens

ai nach der Proporzion an:ni=ni:nu, folglich, wenn wir den Durchmesser au = 2R Fi^.

setzen; so haben wir, weil an gegen den Durchmesser 2R vernachlässigt werden kann 7 "

13 r )* 3 3 27

r.2= — r.2:2R, woraus R = — r = 2y, 3 r folgt. Da diese Bestimmung

24

13

des Halbmesser? R von 2, folglich auch von der Anzahl der Triebstöcke nicht ab>-