calculer.

CALCULER

perpendiculaires h MT, et parallèles au mouvementlongitudinal du cône. Si par chacun des sommets dupolygone on mène une parallèle à la base MT, compriseentre les deux ordonnées voisines ou entre leurs prolon-gements, on aura d’abord un premier contour polygonalrectangulaire MA’BB’CC’DD’EE’FF’GT déterminé parles portions de ees parallèles comprises entre chaquesommet et l’ordonnée la plus voisine a gauche; puisensuite un autre contour MAB”BC”C1)”DE”EF”FG”Tdéterminé par les portions des mêmes parallèles com-prises entre chaque sommet et l’ordonnée la plus voi-sine a droite. Or, il est évident que l’aire limitée parle premier contour polygonal surpasse l’aire du poly-gone MABCDEFGT, des triangles AA'B, BB’C, C'C’D,et qu’elle est surpassée par cette dernière d’une surfaceégale à la somme des triangles DD’E, EE’F, FF’G.Tout au contraire, l’aire que comprend le second con-tour polygonal est surpassée par l’aire cherchée, d’unequantité égale à la somme des triangles AB”D, BC”C,CI)”1) respectivement égaux aux triangles AA’B, BB’C,CC’l); et elle la surpasse de la somme des trianglesDX’‘F,EF’'F,FG’G respectivement égaux aux triangles

DITE, EE’F., FF’G. En un mot, tout triangle rectangleexcédant par rapport à l’aire cherchée, dans le premierpolygone, est remplacé par un triangle déficient égaldans le second, et réciproquement. La somme des su-perficies des deux polygones rectangulaires est doncle double de l’aire cherchée, et la détermination decelle-ci se réduit à la mesure des deux polygones rec-tangulaii*es.

Mais rien n’est plus facile que cette me-sure, au moyen du planimètre, pour le polygoneMA’BB’CC’DD’EE’FF’GT. Par exemple, après avoirplacé la directrice sur MT et la pointe sur M, les ai-guilles étant amenées sur zéro, on poussera le comp-teur en avant jusqu’à ce que la directrice rencontre lesommet B, sur lequel on amènera la pointe : on ira denouveau en avant jusqu’à ce que la directrice ren-contre le sommet 0, et ainsi de suite; de sorte que lechemin parcouru par la pointe sera le contour poly-gonal dont il s’agit de déterminer la surface, et qui estmarqué par un trait fort sur la figure. L’indicationdu compteur sera absolument la même que si l’onavait pris successivement les superficies des rectan-gles MA'BX , XB’CF. PC’DQ... et ainsi de suite...;car en opérant cette décomposition en rectangles, ondescendrait et on remonterait successivement le longdes lignes BX, CP, D’Q, E'R, F’S et ces deux mou-vements contraires et égaux ne pourraient en rienchanger l’indication dernière du compteur, laquelleest la moitié de l’aire limitée ; par le contour poly-gonal.

Cette première portion de la surface cherchée étantobtenue, on ramène les aiguilles du compteur à zéro, eten commençant par le point T, on parcourt le oonfour

polygonal TG”FF”EE”DD”CC”BB”AM ; la nourelîoindication du compteur est la seconde portion de la sur-face cherchée, et la somme de ces deux indications estl’aire du polygone MABCDEFGT. On voit maintenantpourquoi les cadrans du compteur sont gradués de ma-nière à ne marquer que la moitié des surfaces mesu-rées ; c’est afin de réduire à une simple addition dedeux nombres lu mesure de l’aire d’un polygone, sansque l’oi; soit obligé de prendre la moitié de la sommeobtenue.

On remarquera que les décompositions de figuresque nous avons opérées pour l'intelligence du procédésont complètement inutiles pour la pratique de ce pro-cédé, et que le planimètre donne l’aire du polygoneMABCDEFGT sans exiger la moindre constructiongéométrique.

On démontre avec une extrême facilite que ce pro-cédé est général et s’applique à un polygone quelconque(voir le mémoire déjà cité). Remarquons enfin qu’ilpeut résulter de la position de la figure à mesurer, queTaire de celle-ci soit donnée par la différence des nom-bres indiqués, au lieu de l’être par leurs sommes; ccqu’indique Mors le changement de sens des mouvementdes aiguilles.

Il est évident qu’il faut que les échelles du planimè-tre et des plans dont on mesure la surface sc correspon-dent. On prend habituellement celle de —-— adoptéeparle cadastre. Si le plan était à une autre échelle, ilfaudrait faire supporter aux résultats obtenus une cor-rection facile à calculer.

Nous terminerons cet article en indiquant la disposi-tion qu’a adoptée M. Morin, pour relever au moyen duplanimètre l’aire très allongée qui mesure le travailmécanique dans certaines expériences dyanométriques(voyez DYNANOMETKES ).

Pour obtenir l’aire des courbes au moyen du pln-nimètre, en opérant comme nous l’avons expliquépour les polygones, par des mouvements rectangu-laires, il faut décomposer la courbe eu petits contourspolygonaux sur lesquels on agira comme nous l’a-vons expliqué. La mesure sera d’autant moins inexactequ’on aura agi sur de plus petits côtés, mais elle le seraévidemment toujours trop quand on aura besoin de précision.

Voici comment opère M. Morin :

Il remarque que, si l’on suppose la roulette placéesur le sommet du cône , l’index décrira une lignedroite, et le compteur restera à zéro, qu’on la placeensuite en un point quelconque, et qu’on fasse décrireà l’index une ligne parallèle à la première, le compteurmarquera la surface du rectangle compris entre ces deuxlignes droites.

Si l’on place un rectangle quelconque de manièrequ’un côté soit parallèle à cette première ligne, et qu’on '<*n suive les contours, il est évident que les deux indica •tions du compteur (de l’allée sur un côté, et du retoursur le côté parallèle) qui auront lieu en sens contraire,ou la différence qu’indiquera le compteur indiquera ladifférence des deux rectangles formés par la base cor •respondant au sommet imaginaire et chacun des côtésparallèles du rectangle à mesurer, c’est-à-dire donneraprécisément Faire à mesurer.

Si une courbe est comprise tout entière du côté d’uneligne droite, on aura de même Faire comprise entre lacourbe et la ligne droite, placée parallèlement à laligne telle que la roulette ne varie pas dans le senscle l’axe du cône quand l’index la parcourt. Cela fait,on place les aiguilles du compteur à zéro, on suit laligne base rectiligne a b avec l’index, puis on revienten suivant le contour 6c de la courbe jusqu’au point a.Le compteur indiquera Faire cherchée qui peut êtreconsidérée comme composée d’une infinité de petits rec-

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