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général le nom d’nxe à toute ligne tracéedans le plan de la courbe & à laquellese rapporte {'équation; on appelle l'uxedes x , ou simplement axe, la ligne surlaquelle se prennent les abscisses ; axe desy, la ligne parallèle aux ordonnées, &passant par le point où x est=o. Cepoint est nommé l 'origine des coordonnéesou Vorigine de la courbe. Voyez COOR-DONNEES.

Descartes est le premier qui ait penséà exprimer les lignes courbes par deséquations. Cette idée fur laquelle estfondée Inapplication del’algebre à la géo-métrie (-voyez Application U Dé-couverte) est très-heureuse & très-féconde.

II est visible que l’équation d’nnecowr-be étant résolue, donne une ou plusieursvaleurs de l’ordonnée y pour une mêmeabscisse x, & que par conséquent unecourbe tracée n'est autre chose que la so-lution géométrique d’un problème indé-terminé, c’est-à-dire, quia une infinitéde solutions: c’est ce que les anciens ap-pelloient lieu géométrique. Car quoiqu’itsn’eussent pas ì’ídés d’exprimer les cour-bes par des équations , ils avoient vupourtant que les courbes géométriquesIi’étoient autre chose que le lieu , c’est-. à-dire, la suite d’une infinité de pointsqui satisfaisoient à la même question;par exemple, que le cercle étoit le lieude tous les point* qui désignent les som-mets des angles droits qu’on pent Formerfur une mê ne base donnée , laquellebase est le diamètre à cercle ; L ainsides autres.

Les courbes se divisent en algébriques ,qu’on appelle souvent avec Descartes,courbes géométriques : & en transcendan-tes , que le même Descartes nomme mé-chaniques.

Les courbes algébriques ou géométri-ques sont celles où la relation des ab-scisses A P aux ordonnées P M(sig. 52.)est ou peut être exprimée, par une équa-tion algébrique. isolez ÉquationAlgébrique.

Supposons, parexamplc, que dans uncercle on ait A B—-x , A P — -x, P JH=yi on aura P B=a—x : par con-séquent, puisque P M z=â P X B P ,on aura yy=a x — xx; ou bien si onsuppose P C~x , A Cz=A , P M=y ,

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on aura M C 1 —P C~=PM'~, c’est-à-dire a'- — x z =y z .

II est visible par cet exemple , qu’unemême courbe peut être représentée pardifférentes équations. Ainsi fans changerles axes dans l’équation précédente , fion prend l’origine des x an sommet ducercle, au lieu de les prendre au centre,on trouve, comme on vient de lé voir,yy=ax—xx pour l’équation.

Plusieurs auteurs, après Descartes ,n’admettent que les courbes géométri-ques dans la construction des problèmes,& par conséquent dans la géométrie;mais M. Newton & après lui MM.Leibnitz & WolF sont d’un autre senti-ment, & prétendent avec raison que dansla construction d’un problème, cen’estpoint la simplicité de l’équation d’unecourbe qui doit la faire préférer à uneautre, mais la simplicité & la facilité dela construction de cette courbe. VoyezConstruction , Problème , £3?Ge'ome'triq.ue.

Courbe transcendante ou méchanique,est celle qui ne peut être déterminée paruneéqu tion algébrique. Voyez Trans-cendant.

Descartes exclut ees courbes de la géo-métrie ; mais Newton & Leibnitz sontd’un avis contraire pour la raison quenous venons de dire. En effet une spi-rale, par exemple, quoique courbe mé-chanique , est plus aisée à décrire qu’uneparabole cubique.

L’équation d’une courbe méchaniquene peut être exprimée que par une équa-tion différentielle entre les dy L les d v.Voyez Dis fe'rentiel. Entre ces deuxgenres de courbes, on peut placer, i°,les courbes exponentielles, dans l'équa-tion desquelles une des inconnues, outoutes les deux entrent en exposant,comme une courbe dont l’équation seroityz=a x , ou y x=ay &c. Voy. EXPO-NENTIEL. s°. Les courbes intersoen-dantes dans l’équation desquelles les ex-posons sont des radicaux, comme r— yV 2 . Ces deux especes de courbes ne sontproprement ni géométriques ni mécliani-ques, parce que leur équation est finisfans être algébrique.

Une courbe algébrique est infinie,lorfqu’elle s’étend à l’infîni, somme iaparabole & l'hyperbole; finie, cmaniiB b b 3 '