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pile fait des retours fur elie- même rom-pre l’ellipse ; & mixte, quand une de sespartjes est infinie, & que d’autres retour-nent fur elles-mémes.

Pour se former Tifiée d’nne courbe parle moyen de son équation , il faut imagi-ner que ('équation de la courbe soit réso-lue, c'est-à-dire, qn'nn ait la valeur deyen eç, Cela posé, on prend toutes les va-leurs positives de * depuis q jnfqu'à l’iu-sini, & toutes ses valeurs négatives depuisp jnfqu’à 1 infini. Les ordonnées corres-pondantes donneront tous ses points de lafourbe, les ordonnées positives étant prisestoutes du même sens, H les négatives ducoté opposé. Voilà ce qifon trouve danstons les algébristçs L géomètres moder-nes. Mais aucun n’a donné la raison depette réglé. Nous la donnerons dan» lafpite de cet article, après avoir parjé au-paravant de la transformation des axesd’une courbe.

II est certain qu’après avoir rapportél’éqnation d’une courbe à deux axes quel-çonques d’abspísses & d’ordonnées, onpeut la rapporter à deux autres axesquelconques tirés comme on voudrapans le plan de la courbe. De ces deuxpxes,l'un peut être parallèle ou co-in-cident à Taxe des v, & l’autre parallèlepu cpïncjdept â Taxe des y; j;s peuventpuffi n’être point parallèles ni i’un niî’autre aux deux premiers axes, w aisfaire ayee eux des angles quelconques,{supposons, par exemple , quejíP (x)iSi f AI (y) sesent (Fl. d’Algeb. fig. 17.)les abscisses & les ordonnées d’une cour~fie, & qu’on veuille rapportes la courbepux nouvelles coordonnées quelconquesA F & fi Mi on tirera A B &D q paral-lèles à y & à x , & on nommera lesCoordonnées nouvelles A,F (z) & F M(a). Cela posé , il est visible que l’angle(t fi M est donné, comme on le suppose ,pinsi que i’angle p B u & l’angse B q mpu íon égal A m M » & que a B & A Bsont aussi donnés de grandeur & de po-sition. Ponc si on nomme u B, a, &Ab, f, on aura B fir=z—a, B q ouAntz=(z-r—.n), m, m exprimant le rap-port connu dp BqàBq; F m=y n, »étant de même une coeffipient, donné &par conséquents P ou op = (z — a)m f y « : de plus AÍmx=p AI—fij n~fi Af -.— ÂB- — pq==u -—

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qfaq, q étant de même un coefficientdonné, & M P ou y=(«— b — zqfaq~)X k : donc on aura y =a ( u — b — zq f a q) k & x =22 C r — a) m f n k(u- — h — -z q f « q) i donc si on met à laplace de x & de y leurs valeurs qu’onvient de trouver en z & en u , on auraune nouvelle équation par rapport auxcoordonnées z & u, Voyez à larticleTransformation des a.xe$ un f lusgrand détail.

11 est visible qn’on peut placer non-seulement l'axe des z & l’axe des u, maisaussi l’axe des x 81 celui desy, par - toutoù l’on voudra, fans que la courbe chan-ge pour cela de place , & que la posi-tion de la cburbe est totalement indépen-dante de la position des axes ; de forteque les ordonnées u partant de l’axe des2, doivpRt aboptir aux mêmes points queles ordonnées y, partant de l’axe des x.Cela est évident par ses opérations mêmeque l’on fait pour la transformation desaxes. D’aìlleurs on doit considérer q»'ti-ne courbe n’elì autre chose que le lieu,d’une infinité de points qui servent h ré-soudre un problème indéterminé, c’c st,à-dire, un problème qui a une infinitéde feintions. Or la situation de cespoints est totalement indépendante de laposition des axes auxquels on les rappor-te, ces axes pouvant être placés par-tonsoù l’on voudra. De ces principes on peuttirer ses conséquences suivantes fur la po-sition des ordonnées.

l°. Les ordonnées positives doiventêtre prises d’uq même coté j car soit( fig. î6. n°. 3. analys. ) A P l’axe des x,& qn’op trouve deux valeurs positivespour y ; soit F AI la plus grande de cesvaleurs , je dis que U plus petite P mdoit ptre prise dp même coté. Car soittransposé l’axe A P en a p , en sorte quçFp=xz a, & soit a p = x & fm= z,on aura l’équation rapportée aux axes x& z , en mettant z —a pour y dans l’é-qnation de la courbe ; & on a tira chaquevaleur de 2 égqle aux valeurs correspon-dantes dey, augmentées chacune de a;donc au point f, on a»ra deux valeurspositives çle 2, savoir af P M & afPm,Or si on ne prgnojt pas F M du mêmecoté que F M, mais de l’autre coté, l’or-donnée f AI, au lieu d’étre a f P AI,íeroit a-r -P A/l ^ se courbe çliangetoit