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donc ou d’équation ou de figure, en chan-geant d’axe ; & tandis qu’une de ses par-ties réitérait à la même place, l’autre sepromènerait, pour ainsi dire, suivant quel'on changeroit Taxe de place. Or ni l’unni l’autre ne se peut. Donc il faut que PM & P m fuient pris du même coté,quandils font tous deux positifs.

2°. Si on a deux valeurs, l’une posi-tive P M , l’autre négative P m (fig.36. n°. il faudra les prendre de diffé-rens cotés. Car soit, par exemple , PJU=\/x, &Fw = — V x: trans-posant Taxe A P en ap, en sorte quef P=a , & mettant z—a pour y dansl’équation de la courbe , on auraf V x & 2=o— V a:. Si on supposeV x < a , ce qui se peut toujourspuisque a est arbitraire , on trouve z ouf M=a f P M & 2 ou p ?»=a—P M.Donc P1» doit être égale à P M, & prisedans un sens contraire. Tout cela estaisé à voir avec un peu inattention.

Lorsque les ordonnées font positives ,elles appartiennent toutes également àla courbe, ce qui est évident puisqu'iln'y a pas de raison pour préférer l’uneàl'autre. Mais lorsqu’elles sont négati-ves, elles n’appartiennent pas moins àla courbe s car, pour s’en convaincre,il n’y a qu’à reculer Taxe de faqon quetoutes les ordonnées deviennent positi-ves. Dans cette derniere position deTaxe, toutes les ordonnées appartien-dront également à la courbe. Donc il enfera de même dans la premiere positionque l’axe avoir.

Donc supposant x positive, toutes lesvaleurs de y tant positives que négati-ves , appartiennent à la courbe ; maisnu lieu de prendre la ligne des * pourTaxe, on peut prendre la ligne des^>, Lalors on aura des valeurs tant positivesque négatives de x , lesquelles par lamême raison appartiendront aussi à lacourbe. Donc la courbe renferme toutesles valeurs des y répondantes à une mê-me x ; & toutes les valeurs des x répon-dantes à un même^, ou ce qui revientau même, elle renferme toutes les va-leurs positives & négatives de y répon-dante , soit aux x positives, soit aux xnégatives. En effet, si dans la valeur de

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y qui répond aux.* positives, on changeles signes des termes où x se trouve avecune dimension impaire , on aura la va-leur de y correspondante aux x négatives,

& cette équation fera évidemment la mê-me qu’on aurait en résolvant l’équationen x & en^, après avoir changé d’aborddans cette équation les signes des termesait x se trouve avec une dimension im-paire. Or je dis que cette derniere équa-tion appartient également à la courbe ;car ordonnons l’équation primitive parrapportas:, avïnt d’avoir changé aucunsigne, & cherchons les valeurs de s: eny, nous venons de voir que les valeurs,tans positives que négatives de x , ap-partiennent à la courbe. Or les valeursnégatives font les mêmes que l’on auroitavec un ligne positif, en changeant dansl’équation primitive les signes des termesoù x se trouve avec une dimension im-paire; car on fait que dans une équationordonnée enx, si on change les signes .des termes où x se trouve avec une di-mension impaire , toutes les racineschangent de signe fans changer d’aiileursde valeur. Voyez Equation. Doncl’é-quation en x, avec le changement dessignes indiqués , appartient aussi-bien àla courbe , que l’équation en sç fans chan-ger aucun signe. Donc, Uc. 11 est donaimportant de changer les signes de a:, s’ilest nécessaire, pour avoir la partie de lacourbe qui s’étend du coté des * négati-ves. En effet, soit par exemple, yy = aa—xx l’éqnation du cercl e. 011 aura, enprenant a; positive, ^=+V an — xxi& en faisan t a: négative , on aura de mê-m ty—.+ ^Jua — xx : ce qui donnele cercle entier. Si on prenoit seulementa: positive, on n’auroit que le demi - cer-cle; & fi on ne prenoit y que positive, onn'auroit qne le quart du cercle.

Voilà donc une démonstration généralede ce que tous les géomètres n’ont sup-posé jusqu’à présent que par induction.En effet, ils ont vu, par exemple, quesi—-a:, c’est l’équation d’une li-gne droite qui coupe l’on axe au pointoù xuxzíi , & qui ensuite passe de l’au-tre coté. Or quand x > a, on a ^néga-tive ; ainsi, ont-ils dit, l’ordonnée né-gative doit être prise du coté opposé à 1*

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