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positive. Ils ont vu encore que >;=+• Vf x est l'équation de la parabole, &quecette courbe a en effet deux parties éga-Jfs ftsimblables, l’une à droite & l’au-tie à gauche de son axe, ce qui prouveque——v' p x doit être prise du coté oppo-sé à V p x. Plusieurs autres exemples prisdu cercle des section» coniques rapportéesà tel axe qu’on jugera à propos, ont prou-vé la réglé de la position des ordonnées &Ja nécessité de prendre x négative , aprèsl’avoir pris positive. On s’en est tenu là :niais ce n'étoit pas une démonstration ri-goureute.

, Les différentes valeurs dey répondan-tes à x positive & à x négative , donnentles différentes branches de la courbe.Voyez Branche.

Lorsqu’on a ordonné l’équation d’unecourbe par rapport à yóuàx, s’ilnefetrouve point dans l’équation de termeconstant, la courbe passe par l’origine jcar en faisant xz=o, Sc yz= o dans l’é-quation, tout s’évanouit. Donc la sup-position dejf=o quand x=o est légiti-me. Doue la courbe .passe par le pointoù x=o.

Eu général, si on ordonne l’équationd’une courbe par rapport à y , en sorteque le dernier terme ne contienne que xavec des constantes , & qu’on chercheles valeurs de x propres à rendre ce der-nier terme égal à zero , ces valeurs de xdonneront les points où la courbe cou-pera son axe ; car puisque ces valeursde x substituées dans le dernier terme ,le rendront==:o, on prouvera par lemême raisonnement que ci defflis , quedans les points qui répondent â cesva-lèurs de x, on a yz=o

Lorsque la valeur de l’ordonnée y estimaginaire , la courbe manque dans cesendroits-là; par exemple, lorsque x>odans réquatìon j>=f V aa — xx, lavaleur d’^ est imaginaire : aussi le cerclen’existe point dans les endroits où x '> a ;dç même fl dans l’équation y= f V px,on Èiit x négative, on trouvera .y ima-ginaire; ce qui prouve que la parabolepç passe point du coté des x négatives.

On verra aux articles Equation LImaginaire que toute quantité imagi-naire ou racine imaginaire d une équa-,

tien peut se kàils ì A f d V —1, &

COU

L S étant des quantités réelles, & quetoute équation qui a pour racine A + BV—-l, a pour racine aussi A~— B V—fOr quand une ordonnée passe du réel àl’imagínaire, cela vient de ce qn’unequantité comme C, qui étoit fous un si-gne radical VC, devient négative , enforte que C=xB\/ —l, B étant unequantité réelle. Or pour que C deviennenégative, de positive qu’elle étoit, ilfaut qu’elle passe par lez ro ou par l’in-fini. Voyez Maximum. Donc au pointoù l’ordonnée passe à l’imaginairc, on aB nul nu infini ; donc les ra cines A-\-BV—i & A—B V—i deviennentégales en ce point-là. Donc la limite quisépare les ordonnées réelles des ordonnéesimaginaires, renferme deux ou plusieursordonnées égales, lesquelles sorontj=o ,ou finies ou infinies; égales à zero, siA=o , & si B est zero ; finies, si Aest finie & B zero ; infinies fi A est in-finie & B zero, ou fi A est finie & B in-finie , ou fi A Sc B font infinies Tune Scl’autre.

Par exemple , fi xs= u, & que l’équa-tion soit7=a — x + V a — x, on a y=ro; si l’équation est y =& a + Vfe=x,y sera==aj si l’équation est y=a -f»r i

V a—x, ou y s=«—x -f- V a —x, y fer,infinie; Sc fi dans tous cas on prend x ì>a, la valeur de y fera imaginaire.

Quand on a l’équation d’une courbe , ilfaut examiner d’abord fi cette équationne peut pas se diviser en plusieurs équa-tions rationnelles : car fi cela est, l’équa-tion se rapporte , non à vue sente &même courbe , maïs à des courbes diffé-rentes, On en peut voir un exemple àl'article HYPERBOLES CONJUGUEESau met ConjuGBeL Nous ajouteronsici, 1°. qu’il Faut pour ne point fe trom-per là-dessus, mettre d’abord tous lestermes de l’équation d’un coté & zero del’autre , & voir ensuite fi l’équation estréductible en d’autres équations ration-nelles ; cariait, par exemple, y.y 5= aa —x x, on seroit tenté de croire d’a-bord que l’équatiou peut se changer et|ces deux - ci y a — x Sc y — a + x,dont le produit donne yy=aa —xx »ainsi qu poufroit croire que i'éq u-ttioi,