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cas où elles font égales. Au reste, ilfaut encore remarquer que toutes lessubdivisions île ces quatre cas, & mêmela division générale, auront toujours del'arhitraire. Cela se voít même dans ladivision des lignes du second ordre. Caron pourroit à la rigueur, par exemple,regarder la parabole comme une especed’ellipse dont Taxe est infini ( Voy. Pa-rabole ) , & ne Faire que deux divi-sions pour les sections coniques; & onpourroit même n'en faire qu’une, énregardant l’hyperbole comme une el-lipse , telle que dans l’équation yy =aa —«, le quarré de l’abscisse xxait le signe +. II sembìe qu’en géomé-trie comme en physique, la division engenres & en espece s ait toujours néces-sairement quelque chose d’arbitraire ;c’est que dans l’une & dans l’autre iln’y a réellement'que des individus , &que les genres n’existent que par abs-traction de l’esprit.

M. Cramer trouve quatorze genres decourbes dans le troisième ordre , & M.Euler seize, ce qui prouve encore l’aibi-traire des subdivisions.

On peut par une méthode semblablefaire la division des courbes d'un genresupérieur, soyez ce que M. Cramer afait par rapport aux lignes du quatrièmeordre dans le cbctp. jx de fou ouvrage.

Pour rappeller â l’une des quatre for-mes de M. Newton une ligne quelcon-que du troisième ordre, dont l'éqnationest donnée en z & en a, on transfor-mera d’abord les axes île la maniéré laplus générale , en supposant a = Az+ B u + D & y =: D z + E u + F;substituant ensuite ces valeurs , on dé-terminera les coefficiens A, B, &c. àêtre tels que l’éqnation en a? & en y aitune des quatre formes susdites.

Points singuliers U multiples des cour-bes. O n appelle point multiple "d’unecourbe celui qui est commun à plusieursbranches qui. se coupent en ce point,& par opposition pointsmple , celui qnin’appartient qu’à une branche. II estvisible qu'aii point multiple l’ordonnéey a plusieurs valeurs égales répondan-tes à une même a;. C’est-là une propriétédu point multiple ; mais il ne faut pascroire que le point soit multiple , tou-tes les fois que l’ordoanée a plusieurs

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valeurs égales. Car, si une ordonnéetouche la courbe , par exemple, il estaisé de voir que l’ordonnée a dans cepoint deux valeurs égales, fans que lepoint soit double. Voyez Tangente.La propriété du point multiple, c’est quel’ordonnée y a plusieurs valeurs égales,quelque stuatìon qu on lui donne ; a II lieu.que dans le point simple l’ordonnée quipeut avoir plusieurs valeurs égalesdans une certaine situation, n’en a plusqu’une dès que cette situation change,ce qni est évident par la feule inspectiond’un point multiple & d’nn point simple.Voyez Point.

De-là il s’ensuit que si on transportel’origine en un point supposé multiple,en faisant z -f- A = z, »'+ B=y ,il faut qu’en supposant z infiniment pe-tit , on ait plusieurs valeurs nulles deu , quelque direction qu’on lui donne.Ainsi pour trouver les points multiples,il n’y a qu’après avoir transporté l’origi-ne dans le point supposé, donner une di-rection quelconque à l’ordonnée, & voirsi dans cette direction quelconque l’or-donnée aura plusieurs valeurs égales àzéro. Voyez M. l’abbé de Gua pag. 88, &M. Cramer, pag. 409.

On prouvera par ces principes, queles sections coniques ne peuvent avoirde points multiples , ce qu’on savoifcd’ailleurs. On prouvera auísi que lescourbes du troisième ordre ne peuventavoir de points triples, £jc. Mais cetteproposition se peut encore prouver d’unemaniéré plus simple ên cette sorte. Ima-ginons que l’ordonnée soit tangente d’unedes branches , elle rencontrerajcettebranche en deux points. Or fi le pointest un point double, par exemple, l’or-donnée rencontreront donc la courbe entrois points , ce qui ne peut être dansune section conique , car jamais unedroite ne peut la rencontrer qu’en deuxpoints , puisque son équation ne passejamais le second degré; & qu’ainsi quel-que position qu’on donne à l’ordonnée,elle ne peut avoir jamais plus de deuxvaleurs. On prouvera de même qu’unecourbe d II second genre , ou ligne diltroisième ordre, ne peut avoir de pointtriple , parce que la courbe ne peut ja-mais être coupée qu’en trois points parune ligne droite.