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A l’égard des points doubles des cour-bes, nous avons dcjà remarqué que J escourbes du second genre peuvent êtrecoupées en trois points par une lignedroite. Or deux de ces points se con-fondent quelquefois, comme il arrive,par exemple, quand la ligne droite passepar une ovale infiniment petite, ou parJe point de concours de deux partiesd’une courbe qui le rencontrent, & Mu-nissent en une pointe. Quelquefois leslignes droites ne conpent la courbe qu’enun point, comme il arrive aux ordon-nées de la parabole de Descartes, & dela premiere parabole cubique ; en ce casil faut concevoir que ces lignes droitespassent par deux antres points de la cour-be placés à une distance infinie ou ima-ginaire. Deux de ces intersections coïn-cidentes, Faites à une distance infinie, oumême imaginaire, constituent une cspecede point double.

On appelle points singuliers les pointssimples qui ont quelque propriété par-ticulière, comme les points 'conjugués,les points d’inflexion , les points deser-pentement, fisc. Voyez P O r N T , CON-JUGUÉ , Inflexion , Sf.rpente-

JMENT, esc. Voyez aujjì REBROUSSE-Jíent, Noïud, £ sc. Sur les tangentesdes courbes en général, & fur les tan-gente* des points multiples, voyez TAN-GENTE.

Description organique des courbes. 1°.Si deux angles de grandeur donnée, FA D , P B D ( Pi. de Géomét. fig. 53.)tournent autour de deux pôles A &. B,donnés dc position, & que le point deconcours P des cotés A P, B P, dé-crive une ligne droite, le point de con-cours D des deux autres cotés décrirau ne section cóuiqnc qui passera par lespôles A & B , à moins que la ligne nevienne à passer par l’nn ou l’autre despôles A&B, ou que les angles BAD& A B D ne s’évanoniffent à la fois,auquel cas le point de concours décriraune ligne droite.

2°. Si le point de concours P des co-tés A P, B P, décrit une section coni-que passant par i’un des pôles A, lepoint de concours D des deux autrescotés, A D, B D, décrira une courbedu second genre qui passera par l’autre■pôle L, & qui aura un point double

COU 7?r

dans le premier pôle A , à moins queles angles, BAD, AB D, ne s’éva-nouissent à la Foís ; auquel cas le pointD décrira une autre section conique quipassera par le pôle A.

3°. Si la section cônique décrite parle point P ne passe ni par Á ni par B,le point 7 ? décrira une courbe du secondou du troisième genre, qui áura un pointdouble, & ce point double se trouve-ra dans le concours des cotés décrjvansAD, B D, quand les deux angles B AP., A B P , s’évanoi'.issent à la fois. Lacourbe décrite fera du second genre,quand les angles D AB, AB D, s’é-vanouiront à la fois, sinon elle fera dutroisième genre, L aura deux pointsdoubles en A & cn B.

Les démonstrations de ces propositions,qu’il servit trop long de donner ici, setrouveront dans l’otivrage de M. Ála-clatirin , qui a pour titre Geometria or-ganica, où il donne des méthodes pourtracer des courbes géométriques par unmouvement continu. Voyez aussi le VllTlivre des seéíions coniques de M. de l’Hô-pital.

Génération des courbés du second genrepar les ombres. Si les ombres des courbesde différens genres font projetées fur unplan infini, éclairé par un point lumi-neux, les ombres des sections cóníquesferont des sections coniques ; celles descourbes du second genre seront des cour-bes du second genre 5 celles des courbesdu troisième genre seront des courbes dutroisième gente, &c.

Et comme la projection d n cerclé en-gendre toures les sections coniques, demême la projection des cinq parabolesdivergentes engendre toutes les autrescourbes dit second genre; & il peut yavoir de même dans chaque autre genreune fuite de courbes simples , dont iaprojection fur un plan éclairé paf tinpoint lumineux , engendre toutes ksautres courbes du même genre. MJLNicole & Classant dans les mémoires delaçai, de 1731 , ont démontré la pro-priété des cinq paraboles divergentesdont notts venons de parler 5 propriétéque M. Newton n’avoit fait qu’énoncerfans démonstration. V. aujjs fur cetteproposition l’ ouvrage cité de AI. f’abbéCens