cou

zds

•— pourra toujours être exprimé pard z

une quantité finie, d’otï les différen-tielles disparoîtront. Une courbe à dou-ble courbure est algébrique , quand lesdeux courbes de projection le sont: elleest méchanique quand l’une des courbesde projection est méebanique, ou quandelles le font toutes deux. Mais dans cedernier cas on n’en trouvera pas moinsles tangentes ; car par l’équation diffé-rentielle des courbes de projection , onaura toujours la valeur de dr en da; &celle de d c en dx.

Surfaces courbes. Une surface courbe estreprésentée en géométrie par une équa-tion à trois variables , par exemple , x ,y&z. En effet, si on prend une lignequelconque au-dedans ou au-dehors dela surface courbe pour la ligne des x,& qu’on imagine à cette ligne une in-finité de plans perpendiculaires qui cou-pent la surface courbe , ces plans for-meront autant de courbes, dont l’équa-tion fera en y Sc en z , & dont le para-métré fera la distance variables d u plancoupant à l’origine des Ainsi , zz=s=xx—‘yy , est l’équation d’uu cône droit& rectangle, dont l’axe est la ligne des x.M. Defcartes est le premier qui ait dé-terminé les surfaces courbes par des équa-tions à trois variables, comme les li-gnes courbes par des équations à deux.

Une surface courbe est géométriquequand son équation est algébrique &exprimée en termes finis. Elle est mécha-nique quand son équation est différen-tielle & non algébrique ; dans ce cas onpeut représenter l’équation de la surfa-ce courbe par d z = x d x -\-v d y , «&£étant des fonctions de x, de y & de z.11 semble d’abord qu’on aura cette sur-face courbe en menant à chaque pointde la ligne des x un plan perpendiculaireà cette ligne, & en traqant ensuite surce plan la courbe dont l’équation estiixeS d y , x étant regardée comme un para-métré constant,& d x étant supposée=:o.Cette construction donneroit à la véritéune surface courbe ; mais il faut que lasurface courbe satisfasse encore à l’équa-tion d % = x d x,y étant regardé commeconstant, c’est-à-dire, il faut que lessections de la surface courbe, par un plan

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parallèle à la ligue des x , soient repré-sentées par l’équation dz = xdx. Orcela ne peut avoir lieu que lorsqu’il y aune certaine condition entre tes quanti-tés xS-, condition que M. Fontaine del’académie des Sciences a découverte lepremier. On trouveaa aussi dans les mé-moires de l’académie de Pétcrsbourg ,tome Ils, des recherches fur la ligne laplus courte que l’on puisse tracer fur unesurface courbe, entre deux points donnés.Sur une surface plane , la ligne la pluscourte est une ligne droite. Sur une sur-face sphérique , la ligne la plus courteest un arc de grand cercle passant par les .deux points donnés. Et en effet il estaisé devoir, par les principes de la géo-métrie ordinaire, que cet arc est pluspetit que tout autre ayant la même cor-de ; car à cordes égales les plus petits arcsfont ceux qui ont un plus grand rayon.Voyez aussi les teuvres de Bernoulli, tomeIV , sage 108. La ligne dont il s’agit acètte propriété , aue tout pian passantpar trois points infiniment proches, oudeux cotés contigus de la courbe , doitêtre perpendiculaire au plan qui touchela courbe en cet endroit. En voici la preu-ve. Toute courbe qui passe par deuxpoints infiniment proches d’une surfacesphérique , & qu'on peut toujours re-garder comme un arc de cercle > est évi-demment la ligne la plus courte lorf-qu'elle est un arc de grand cercle ; & cetarc de grand cercle est perpendiculaire ailplan touchant, comme on peut le dé-montrer aisément par les élémens degéométrie. Or toute portion de surfacecourbe infiniment petite, peut être re-gardée comme une portion de surfacesphérique , & toute partie de courbe in-finiment petite comme un arc da cercle.Donc, &c. La perpendiculaire a la mé-ridienne de la France tracée par M. Cas-sinì , est une courbe à double courbure,& est la plus courte qu’on puisse tracerfur la surface de la terre regardée commeun sphéroïde applati. Voyez les mémoi-res de V acad. de 1732 Si 1733. Voilà toutce que nous pouvons dire lur cette ma-tière , dans un ouvrage de l'espece de ce-lui-ci.

Des courbes méchaniques , de leurusage pour la construction des équationsdifférentielles. Nous avons expliqué plusCc c 4