I M P

_ / dernier teiWe

f = 2 X *7 + I = í « 107 ; somme des< extr. 162 ; soo>-n ... . = 27I me totale 2187

V — 3 7 -

10. Les choses considérées fous cepoint de vue ; élever nue racine quelcon-que à une puissance donnée, ce n’est quechercher la somme d'une progressionarithmétique, dont, avec !a Jìsserenceconstante r , on connoît le premier termeL le nombre des termes (variables l'un& Vautre, mais déterminés par les for-mules.)

Pour faciliter l’opération ; tomme eutoute progression arithmétique qui a 2pour différence ( Voyez Progkes'SIONARITHME^tiQ u e) , la somme estLp-j-r» — îX n = f + n — iX»;

en substituant au lieu de p & de n leursvaleurs indiquées par les formules , lerésultat fera l a puissance demandée.

Si p =1, p + u — 1 X » se réduit à»X« = « 1 : mais (n°. 8-) quand l’ex-posaut t fi pair, onap = i. Donc quandl’exposant est pair, la somme de la pro-gression subalterne ( égale à la puissancecherchée) est ie quarré du nombre mêmede ses termes.

E11 effet, dans le premier exemple ci-deffus , n' =. 2;' = 625 = 5*.

n. II 11’eft pas besoin de faire obser-ver que quand r -ou r — (qui expri-ment le nombre des termes) , font despuissances elles-mêmes trop élevées, 011peut les former par la même méthode,& rabaisser tant qu’on voudra de l’un enl’autre l’expofant de r, jusqu’à le ré-duire à l’unité.

12. Au reste , il est facile de rappollerJespuissances de l’une & de Vautre classeà une formule commune, qui aura mêmesarcelles qu’on vient de veir , cet avan-tage , qu’outre la solution de tous les caspossibles, dle donnera de plus toutes lessolutions possibles de chaque cas. (Cardès que e > 3 , le problème devient isidé-

I M P 399

terminé ; c’est-à-dire, qu’rl zt a dans lafuite générale des impairs plusieurs suitessubalternes, dont la somme est la puis-sance cherchée.)

m , dans la nouvelle formule ci-au-destous, est n n nombre quelconque < epair , dans les puissances d’un exposantpair, où il peut racme être 0, & impair ,dans Celle d’un exposant impair. Autantque r» aura de valeurs, autant le pro-blème aura de solutions; & aura au-tant de val urs que—( pour les puissan-

ces de la premiere classe), on ( pour

celles de la seconde), expriment d’uni-tés.

»» ... e >n .

p=rf iXr— +

2 —

_ yt-m

" 3

'On pourroit mê-me absolumentsupprimer la for-mule.de n , dontI. la valeur so pro-duit toujoursdans la formulede p, où elle estle second facteurdu premier ter-me.

iz. Plus simplement encore ,& fansl’attirail d’aucune formule, partagez íen deux parties à volonté , & donnez à rchacune de ces deux parties pour expo-sant; vous aurez deux puissances de r.Leur différence augmentée de l’unité fe-ra la valeur de p ; celle des deux qu’onsoustrait de Vautre fera la valeur de n.

14. Si les deux parties dans lesquellese se trouve partagé sont les moins inéga-les qu’il se puisse ; ou (ce qui revient anmême) si faisant usage de la formuso ,on y donne à m la plus petite valeurqu’elle paisse avoir; en sorte qti’clle soit0 pour celtes d’un exposant impair : onverra naître les formules des numproa 8& 9.

1;. Reprenant les exemples que nousavons donnés fous ces deux articles ,pour former la quatrième puissance de 9,.