I N F

tendre les antres, -voyez InfinimentPetit.

Arithmétique i ies infinis cil le norrl donnépar M. Wallis à la méthode de sommerícs fuites.qui ont un nombre infini determes.

Série ou Suite, se dit d’un ordre oud’une progrcflìon de quantités qui crois-sent ou décroissent suivant quelque loi:lorsque la fuite ou la férie va toujours enapprochant de plus en plus de quelquequantité finie , & que par conséquent lestermes de cette férie, ou les quantités dontelle est composée, vont toujours en dimi-nuant , on l’appelle une fuite convergente,& si un la continue à ïinfini, elle devientenfin égale à cette quantité, voyez Con-vergente , &c.

Ainsi 1 , 1 , 4 , Le. for-

ment mse fuite qui s’appreche toujoursde la quantité i , & qui lui devient

enfin égaie , quand cette fuite est con-tinuée à l’infini, voyez Approxima-tion, &c.

La théorie & Lissage des fuites infinies,a été cultivée de nos jours avec be ìueoupde succès ; on croit communément quel'invention en est dne à Nicolas MercatorduHolftcin , qui. paroît néanmoins enavoir pris la première idée de l’arithmc-tique des infinis de Wallis ; on fait usagedes fuites principalement pour la quadra-ture des courbes, patee que cette qua-drature dépend souvent de lexpreflìonde certaines quantités qui ne peuvent êtrereprésentées par aucun nombre précis &déterminé ; tel est le rapport du diamè-tre d’un cercle à fa circonférence, &c’est«n très-grand avantage de pouvoir ex-primer ces quantités par une fuite, la-quelle , étant continuée à l’infini , ex-prime la valeur de la quantité requise,voyez Quadrature , &c.

Nature , origine Çf usage des fuites in-/înier.Quoique i’arithmétique nous donnedes expressions très-complétés & très-in-telligibles pour tous les nombres ration-nels, elle est néanmoins très-défectneuse,quant aux nombres irrationnels, qui fonten quantité infiniment plus grande queles rationnels ; il y a, par exemple , uijeinfinité de termes irrationnels entre i &î : or que l’on propose de trouver unnombre moyen proportionnel entre i &2, exprimé en termes rationnels, quifont les seuls que l’on conçoit claire-

’ÏNF 6s s

ment, la racine de % ne présentant cer-tainement qu’une idée très-obscure, ilest certain qn’on pourra toujours appro-cher de plus en plus de !a juste valeurde la quantité cherchée, mais fans jamaisy arriver ; ainsi pour le nombre moyenproportionnel entre I & 2, ou pour iaracine q narrée de 2 , si l’on met d’abnrdi, il est év dent que l’on n’a pas misassez ; que l’on y ajoute |, on a mis trop :car le quarré de i +|, est plus grandque 2 ; si de i -j- \, l’on ôte J, on trou-vera que l’on a retranché trop , & si l’ony remet —,, le tout fera trop grand : ainsi,lans jamais arriver à la juste valeur dela quantité cherchée , on en approcheracependant toujours <le plus en plus. Lesnombres qne l’on vient de trouver ainsi,& ceux que i’on peut trouver de la mêmemaniéré à l’ínfini, étant disposés dansleur ordre naturel, font ce qne l’on ap-pelle une férie , ou un e fuite infinie, ainsila férie i+ï — 4 -f ïV, &c. continuéeà i’mfini, exprime la valeur de la racinequarrée de 2 ; quelquefois les suites neprocedent pas par des additions & dessoustractions alternatives, mais par desimples additions ou par une infinité desoustractions dans toutes les fuites infi-nies dont tous les termes pris ensemblene doivent être égaux qu’à une gran-deur finie, il est visible que leurs ter-mes doivent aller toujours en décrois-sant; il est bon même, autant qu il estpossible , qu’elles soient telles que l’onen puisse prendre feulement un certainnombre des premiers termes , pour lagrandeur cherchée, & négliger tout lereste.

Mais ce ne font pas feulement les nom-bres irrationnels que l’on peut exprimeren termes rationnels, par des fuites in-finiesi les nombres rationnels eux mê-mes, font susceptibles d’une semblableexpression; i, par exemple, est égal àla fuite i , |, |, (fie. mais il y a cettedifférence, qu’au lieu que les nombresirrationnels ne peuvent être exprimésen nombre rationnel que par ces suites,les nombres rationnels n’ont pas besoinde cette expression.

Parmi les fuites infinies, il y en a quel-ques-unes dont les termes ne font qu’unesomme finie ; tclleest la progression géo-métrique \ , i, f, Le. & en généraltoutes les progressions géométriques dé-