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croissantes: dans d’autres/«?íM, les ter-mes font une somme infinie, elle est laprogression harmonique s, f, J, {, &c.•voyez Harmonique. Ce n’est pas qu'ily ait plus de ternies dans la progressionharmonique , que dans la géométrique,quoique cette derniere n’ait point de ter-me qui ne soit dans !a premiers, & qu’illui en manque plusieurs que cette pre-mière contient; Une pareille différencerendroit feulement les deux sommes infi-nies , inégales ; & celle de la progres-sion harmonique , seroit la plus grande :la raison en est plus profonde ; de la divi-fibilité de l’étendue à l’infini, il fuit quetoute quantité finie, par exemple un pié,est composée pour ainfi dire, de fini &d’infini ; de fini, en tant que c’est unpié j d’infini, en tant qu’il contient uneinfinité de parties , dans lesquelles ilpeut être divisé : fi ces parties infiniesí'ont conçues comme séparées i nné del’autre, elles formeront une fuite infi-nie, & néanmoins leur somme ne seraqu’un pié : or e’est ce qui arrive dans lafuite géométrique J, |, &c. décrois-sante : ear il est évident que ii vous pre-nez d’abord i pié, ensuite | ou la moitiéde ce qui reste, c’est-à-dire \ de pié; &puis í, ou la moitié du reste , c’est à-riire , J de pié, vous pouvez opérer fansfin , en prenant toujours de nouvellesmoitiés décroissantes, qui, toutes en-,semble, ne Font qu’un pié. Quand ondit même que toutes ces parties prises en-semble font un pié, il ne Faut pas pren-dre cette expression à la rigueur, car el-les ne feroient un pié que dans la suppo-sition que l'on eût pris tous les termes de1a fuite, & cela ne se peut, puisque lafuite est infinie; mais on peut prendretant de termes de la fuite qu’on veut,plus on en prendra , plus on approcherade la valeur d'tin pié , & quoiqu’on n’aitjamais le pié exactement, on pourra enapprocher aussi près qu’on voudra : ainficette fuite n’a pas proprement un piépour la somme, car une/wife infinie n’apoint de somme proprement dite , puis-que sa somme varie selon qu’on en prendplus ou moins de termes, & qu’on nepeut jamais les prendre tous ; mais cequ’on appelle la somme d'une fuite , c’estla limite de la somme de ses distërens ter-mes , c'est-à-dire une quantité dont onapproche áuffi près qu’on vent, eu pre-

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nant toujours dans ìn fuite un nombre determes de plus en plus grand. Nouscroyons devoir faire cette remarque tnpassant, pour fixer l’idée nette du mot desomme d’utie fuite. Revenons à prélent ànoue fuite [, f.

Dans cet exemple nous ne prenons pasfeulement les parties qui étoient dans letout, distinguées l’une de l’autre, maisnous prenons tout ce qui y étoit : c’estpourquoi il arrive que leur somme re-donne précisément le tout ou la quantitéentiere ; mais fi nous prenons la pro-gression géométrique -f , &c. c’est-à-dire , que nous prenions d'abord } depié , & que du reste i’on en prenne j , &que de ce dernier reste i’on prenne encore^ de pié , &c. il est vrai que nous neprendrions que les parties qui font dis-tinctes l’une de l’autre dans le pié; maisnous ne prendrions pas toutes les partiesqui y sent contenues, puisque nous n'yprenons que tous les tiers , qui sont pluspetits que les moitiés ; par conséquent,tous ces tiers qui décroissent, quoiqu’ennombre infini , ne pourraient faire létout; & il est même démonrré au'ils neferoient que la moitié d’un pié ; pareille-ment tous les quarts, qui décroissent àl’infini, ne donneroient qu’nn tiers poursomme totale, & tous les centièmes neferoient qu’un quatre-vingt-dix-neuvie-me ; ainlì, non-seuUmcnt la somme destermes d’ime fuite géométrique , dont lestermes décroissent à l’jnfini, n’est pastoujours une quantité finie; elle peutmême être plus petite qu’une quantitéfinie quelconque : car nous venons devoir comment on peut Former une fuitede quantités qui ne soient égales qti’à l,■í, 4 , & on peut de même en former quine soient égales qu’à ', J, L c. f . >

js-j, Sic. & ainfi à l’infini.

Si une fuite infinie décroissante ex-prime des parties qui ne puissent pas sub-lister dans un taut séparément les unesdes autres , mais qui soient telles quepour exprimer leur valeur, il soit né-cessaire de supposer la même quantitéprise plusieurs fois dans le même tout ;alors la somme de ces parties fera plusgrande que le tout supposé , L mêmepourra être infiniment plus grande, c’est-à-dire, que la somme sera infinie, si la mê-me quantité est prise une infinité de fois.Ainli dans U progression hannanique í,