R R, PP'mM, P P M! rrl. Le rapport des changements simultanés durectangle «Sc de la courbe est plus grand que le rapport des rectangles PR\P M' y mais plus petit que celui des rectangles P R 1 , Pm; ou, ce qui revientau même, plus grand que le rapport des droites AS & FM\ mais pluspetit que celui des droites AS <5c P M. Or le rapport d’égalité est la limitedu rapport qui règne encre les exposants des rapports de AS à P M «Sc deAS à P'M 1 ; donc à plus forte raison, le rapport des changements simul-tanés du rectangle & de la courbe peut approcher du rapport de AS à P Mou de celui de AS à P'M' plus près que n’en approche aucun rapport as-signé plus petit ou plus grand qu'eux; & partant la limite du rapport de ceschangements simultanés est bien celui qui règne entre le côté constant durectangle & l’une du l'autre de deux ordonnées P M ou P' M'.

Que la surface variable de la courbe soit désignée par ô', & celle du

AS v

rectangle par R ; on aura lim. — ~ ~ - ; niais a R — a ^x ì donc lim.

—— ZZ ; ou ™ ZZ ou ^ zz y. Partant, si on substitue à v la

«Ax a aax a áx J J

fonction de x qui détermine la nature de la courbe; on aura une équationdifférentielle entre S & x, dc laquelle on pourra déterminer leur relationintégrale. '

Exemple. Soit y zz x m ; donc z; j z Donc (§.XIV.);

S ZZ —— x m + I + C Z — x m x x ±C ~ —— xy + C.

m + I m -f x m j J

i " cas. Que la courbe commence au sommet, comme cela a lieu pourtoutes les paraboles dans lesquelles m est un nombre positif. La courbes’évanouit lorsque x & y font l’une & l’autre zéro; dc partant la constante

C .évanouit auílì. Donc S ZZ —— xy: ou, iS’íjrv zz —— : i zz

i ; M + 1 . Savoir la surface d’un segment de parabole* dont l’équation esty ZZ x m i est à la surface du rectangle circonscript, comme l’unité est à l'ex-posant m augmenté d’une unité.