z56 HISTOIRE
C Je long do la rainure,- que par ce mouvement la règle E Dcoulera, embrassant toujours par sa rainure la pointe P, et queconséquemment la pointe ou crayon íìxé en,D décrira la courbed’un mouvement continu.
Le point D pourroit être également pris en-dessous de I«règle, et alors la pointe ou le crayon décriroit la conchoïdeinférieure.
II est à propos de remarquer dès à présent que cette conchoïdeinférieure peut avoir des formes différentes, suivant le rapportde C A à C P j A est le point décrivant. Car si C A est moindreque C P la courbe aura la forme de la figure Elle sera «sa-bord convexe vers le point P, ensuite elle deviendra concavedu même côté, et convexe vers son asymptote.
Si C a est égale à C P, la courbe passera par le point P et aurala forme que représente la figure 41. Et enfin , si C A étoit plusgrande que C P, elle auroit celle qu’on voit dans la figure 42.
Voyonsmaintenant l’usage de cette courbe. Elle sert à résoudre,par un procédé uniforme le problème de la trisection de sangle ,et celui de, la duplication du cube, ou des deux moyennes pro-portionnelles. Car d’abord on. a vu plus haut, livre III, art. XVI,que le problème de la trisection consiste à trouver le moyen d'in-sérer dans un angle droit, ou entre le cercle et son diamètreprolongé, une ligne égale à une ligne donnée, en sorte queprolongée, elle passe par un point déterminé. Ainsi, dans la ré-solution indiquée par la sig. 43 , que nous répétons ici, il s’a-git d’inscrer dans sangle droit ABC une ligne égale au doublede la diagonale du parallélogramme B D EC, et qui, prolongée,passe par le point D. Prenant donc ce point pour pôle de laconchoïde GAF, pour règle ou module une ligne  B égaleà deux fois la diagonale susdite, la conchoïde décrite par l'ins-trument ci-dessus coupera le côté EF, prolongé en un pointF , qui sera le point cherché ; et I F sera égale à deux fois ladiagonale C D.
Pour construire le problème, suivant l’autre moyen de réso-lution indiqué par la sig. 10 , on employeroit la conchoïde infé-rieure , en prenant le peint pour pôle , le diamètre BA pour baseet le rayon pour module. L'intersection de cette conchoïde avecle demi - cercle donneroit le point cherché , comme l’on voit
sig- 44-
Nicomède rédnisoit aussi le problème des deux moyennes pro-portionnelles à une construction semblable {sg. 4^. ). Car ayantdeux lignes, entre lesquelles il falloit trouver deux moyennes pro-portionnelles, il faisoit faire de deux lignes égales à celles-là unrectangle ABCD; diviser A D en deux parties égales en G, etélever Ta perpendiculaire G I égale à 4 A B. Faisant ensuite G H
égale