NOTE IX

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m l. y/ (x* — nA. tang 1 ^ = l. y /( p* + < 7 1 ) -f- R,

n l. {/(x* -f-mA tang^ = A tang Jj+H,

K et H étant deux constantes arbitraires qu’il s’agit de déterminerconformément à l’équation primitive donnée. Or, en faisant danscette équation y = o et x = 1, on a q = o et p = 15 et ces sup-positions étant introduites dans les équations précédentes, donnentK = 0 et H = 0.

Si donc on fait, pour plus de simplicité, x — wcosz , / = usinz>

ce

qui donne

u = \/(x z H-j») ,

tang z z

et

ensuite

p = r cos s,

n

=

r sin s ,

on

aura

Ir =

mlu

—

nz ,

s =

nlu

mz,

et repassant des logarithmes aux nombres

r = u m e~ nz ,

e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité.

Ainsi r et s, et par conséquent p et <7, seront des fonctions réelles,en supposant. x,y, m , n des quantités réelles.

4. On peut, par ces formules, réduire à une forme réelle l’expressiondes racines des équations du troisième degré, dans le cas irréductibleCar l’expression générale de x dans l’équation

x 3 — 3 M.r — 2N = o,étant, comme l’on sait,

/[N+v/(N* —M 3 )] + V' [N — V/( N ' M3 )3 »

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